V předchozím článku jsme se věnovali soustavám dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, což je nejčastější případ soustav rovnic, se kterým se setkáte ve středoškolské matematice.
V tomto článku se podíváme na soustavy tří lineárních rovnic o tří neznámých. Tyto soustavy lze řešit obdobně jako soustavy dvou rovnic o dvou neznámých, tj. pomocí sčítací nebo dosazovací metody, nebo pomocí tzv. Gaussovy eliminační metody. Gaussova eliminační metoda je univerzální, protože umožňuje řešit soustavy libovolného počtu rovnic o libovolném počtu neznámých.
My se zaměříme na první způsob a Gaussovu eliminační metodu si necháme na jiný článek. Budeme používat sčítací metodu, protože je v tomto případě o něco přehlednější, ale samozřejmě bychom mohli používat i dosazovací metodu.
Postup řešení soustav tří lineárních rovnic o tří neznámých je následující:
- Vybereme si dvě dvojice rovnic a eliminujeme z nich stejnou neznámou. Soustava tří rovnic o tří neznámých se nám tak zredukuje na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.
- Tuto soustavu vyřešíme, čímž získáme hodnoty dvou neznámých.
- Získané výsledky dosadíme do libovolné z rovnic, jež obsahuje třetí neznámou, a tuto rovnici vyřešíme.
Ukážeme si to na příkladech. U třetího příkladu si ukážeme případ, kdy má soustava nekonečně mnoho řešení, a řekneme si, kdy by naopak neměla žádné řešení.
Příklad 1
Řešte soustavu rovnic:
\begin{align*}
3x + 2y + 3z &= 110 \\
5x + y -4z &= 0 \\
2x -3y + z &= 0
\end{align*}
Řešení
Krok 1
Vybereme si dvě dvojice rovnic a eliminujeme z nich stejnou neznámou. Zvolíme si jako první dvojici například první a druhou rovnici a eliminujeme třeba neznámou y:
\begin{align*} 3x + 2y + 3z &= 110 \\ 5x + y -4z &= 0 \qquad | \cdot (-2) \\ \hline \\ 3x + 2y + 3z &= 110 \\ -10x -2y + 8z &= 0 \\ \hline \\ -7x + 11z &= 110 \end{align*}
Jakou druhou dvojici si zvolíme například první a třetí rovnici (ale mohli bychom si klidně zvolit druhou a třetí rovnici) a eliminujeme rovněž neznámou y:
\begin{align*} 3x + 2y + 3z &= 110 \qquad | \cdot 3\\ 2x -3y + z &= 0 \qquad | \cdot 2 \\ \hline \\ 9x + 6y + 9z &= 330 \\ 4x -6y + 2z &= 0 \\ \hline \\ 13x + 11z &= 330; \end{align*}
Krok 2
Získali jsme dvě rovnice o dvou neznámých, které dáme do soustavy, již vyřešíme:
\begin{align*} -7x + 11z &= 110 \\ 13x + 11z &= 330 \qquad | \cdot (-1)\\ \hline \\ -7x + 11z &= 110 \\ -13x -11z &= -330 \\ \hline \\ -20x &= -220 \qquad |:(-20) \\ x &= 11 \end{align*}
\begin{align*} -7x + 11z &= 110 \qquad |x = 11 \\ -7 \cdot 11 + 11z &= 110 \\ -77 + 11z &= 110 \qquad |+ 77 \\ 11z &= 187 \qquad |:11 \\ z &= 17 \end{align*}
Krok 3
Získané výsledky $ x = 11$ a $ z = 17 $ dosadíme do libovolné rovnice, která obsahuje neznámou y, a tuto rovnici vyřešíme. Zvolme si například třetí rovnici původní soustavy:
\begin{align*} 2x -3y + z &= 0 \qquad |x = 11, y = 17 \\ 2 \cdot 11 -3y + 17 &= 0 \\ 22 -3y + 17 &= 0 \\ 39 -3y &= 0 \qquad |+3y \\ 39 &= 3y \qquad |:3 \\ y &= 13 \end{align*}
Množinově můžeme řešení soustavy zapsat například jako množinu K kořenů soustavy, jež obsahuje jednu uspořádanou trojici čísel [x; y; z]:
$$ K = \{[11; 13; 17]\} $$
Příklad 2
Řešte soustavu rovnic:
\begin{align*}
2x + y &= 7 \\
y -3z &= -9 \\
5z -x &= 18
\end{align*}
Řešení
Tato soustava se skládá z rovnic, z nichž žádná neobsahuje všechny tři neznámé, čímž se nám řešení trochu zjednoduší.
Krok 1
Začneme stejně jako u předchozího příkladu, tj. vybereme si dvojici rovnic, z nichž eliminujeme jednu neznámou. Zvolíme si například druhou a třetí rovnici a eliminujeme neznámou z:
\begin{align*} y -3z &= -9 \qquad | \cdot 5 \\ 5z -x &= 18 \qquad | \cdot 3 \\ \hline \\ 5y -15z &= -45 \\ 15z -3x &= 54 \\ \hline \\ 5y -3x &= 9 \end{align*}
Krok 2
Nemusíme vybírat další dvojici rovnic, protože rovnici, kterou jsme právě získali, můžeme už teď dát do soustavy s první rovnicí původní soustavy, která obsahuje stejné neznámé x a y, a tuto novou soustavu vyřešíme:
\begin{align*} 2x + y &= 7 \qquad | \cdot 3 \\ 5y -3x &= 9 \qquad | \cdot 2 \\ \hline \\ 6x + 3y &= 21 \\ 10y -6x &= 18 \\ \hline \\ 13y &= 39 \qquad |:13 \\ y &= 3 \end{align*}
\begin{align*} 2x + y &= 7 \qquad |y = 3 \\ 2x + 3 &= 7 \qquad |-3 \\ 2x &= 4 \qquad |:2 \\ x &= 2 \end{align*}
Krok 3
Zbývá nám vypočítat hodnotu neznámé z. Vybereme si libovolnou rovnici, která tuto neznámou obsahuje, a dosazením známé hodnoty x nebo y ji vyřešíme. Zvolíme si například třetí rovnici původní soustavy:
\begin{align*} 5z -x &=18 \qquad |x = 2 \\ 5z -2 &= 18 \qquad |+2 \\ 5z &= 20 \qquad |:5 \\ z &= 4 \end{align*}
Řešení můžeme zapsat jako množinu K kořenů soustavy obsahující jednu uspořádanou trojici čísel [x; y; z]:
$$ K = \{[2; 3; 4]\} $$
Příklad 3
Řešte soustavu rovnic:
\begin{align*}
\frac{x}{5} -\frac{y}{4} -\frac{z}{10} &= 0 \\
-0{,}2x + 0{,}6z &= 1 \\
x -y -z &= -1
\end{align*}
Řešení
Soustavu nejprve upravíme tak, abychom v ní měli celá čísla:
\begin{align*} \frac{x}{5} -\frac{y}{4} -\frac{z}{10} &= 0 \qquad | \cdot 20\\ -0{,}2x + 0{,}6z &= 1 \qquad | \cdot 5 \\ x -y -z &= -1 \\ \hline \\ 4x -5y -2z &= 0 \\ -x + 3z &= 5 \\ x -y -z &= -1 \\ \hline \\ \end{align*}
Krok 1
Druhá rovnice soustavy neobsahuje neznámou y. Toho můžeme využít tak, že tuto neznámou eliminujeme z první a třetí rovnice soustavy, čímž získáme rovnici s neznámými x a z, kterou následně dáme do soustavy právě s druhou rovnicí naší soustavy. (Nemusíme tedy vybírat a řešit druhou dvojici rovnic.)
\begin{align*} 4x -5y -2z &= 0 \\ x -y -z &= -1 \qquad | \cdot (-5) \\ \hline \\ 4x -5y -2z &= 0 \\ -5x +5y +5z &= 5 \\ \hline \\ -x + 3z &= 5 \end{align*}
Krok 2
Teď sestavíme zmíněnou soustavu dvou rovnic z druhé rovnice naší soustavy tří rovnic o tří neznámých a z rovnice, kterou jsme právě získali. Tyto rovnice jsou ale stejné, takže během řešení této nové soustavy z ní obě neznámé zmizí:
\begin{align*} -x + 3z &= 5 \qquad | \cdot(-1) \\ -x + 3z &= 5 \\ \hline \\ x -3z &= -5 \\ -x + 3z &= 5 \\ \hline \\ 0 &= 0 \end{align*}
Získali jsme platnou rovnost, což znamená, že soustava má nekonečně mnoho řešení. Kdybychom získali neplatnou rovnost, např. $ 0 \neq 5 $, soustava by neměla žádné řešení. To že má soustava nekonečně mnoho řešení, však neznamená, že by tímto řešením byla libovolná uspořádaná trojice čísel, protože tato čísla jsou na sobě závislá.
Můžete si to představit tak, že jednotlivé neznámé x, y, z odpovídají bodům souřadného systému v prostoru, kterým prochází přímka, a jednotlivá řešení z nekonečně mnoha odpovídají souřadnicím těch bodů, které na této přímce leží.
Krok 3
Zmíněnou závislost jednotlivých neznámých potřebujeme nějak vyjádřit, což provedeme tak, že jednu z neznámých označíme jako parametr t, pomocí kterého vyjádříme ostatní neznámé.
Je zvykem označit jako parametr t první neznámou soustavy, v našem případě tedy neznámou x:
$$ x = t $$
Potom z rovnice
$$ -x + 3z = 5 $$
dostaneme:
\begin{align*} -x + 3z &= 5 \qquad |x = t \\ -t + 3z &= 5 \qquad | +t \\ 3z &= t +5 \qquad |:3 \\ z &= \frac{1}{3}(t + 5) \end{align*}
Zbývá ještě vyjádřit neznámou y. To provedeme dosazením výsledků do některé rovnice, která tuto neznámou obsahuje, například do třetí rovnice původní soustavy:
\begin{align*} x -y -z &= -1 \qquad |x = t, z = \frac{1}{3}(t + 5) \\ t -y -\frac{1}{3}(t + 5) &= -1 \qquad | \cdot 3 \\ 3t -3y -(t + 5) &= -3 \\ 3t -3y -t -5 &= -3 \\ 2t -3y -5 &= -3 \qquad |-2t +5 \\ -3y &= -2t + 2 \qquad |:(-3) \\ y &= \frac{2t -2}{3} \\ y &= \frac{2}{3}(t -1) \end{align*}
Všechny neznámé jsme tedy vyjádřili pomocí jednoho parametru, který jsme pojmenovali t.
Řešení soustavy můžeme zapsat jako množinu K jejích kořenů takto:
\[ K = \bigg\{\bigg[t; \frac{2}{3}(t -1); \frac{1}{3}(t +5)\bigg]; t \in R\bigg\} \]
Závěr
V tomto článku jsme si ukázali, jak se řeší soustavy tří lineárních rovnic o tří neznámých „klasickými“ metodami, které jsou obdobné jako u soustav dvou lineárních rovnic o dvou neznámých.
V příštím článku se podíváme na soustavy rovnic, z nichž alespoň jedna je kvadratická.