V předchozím článku jsme se věnovali soustavám tří lineárních rovnic o tří neznámých.
V tomto článku se podíváme na soustavy dvou rovnic, z nichž jedna je kvadratická, a na některé vybrané druhy soustav dvou kvadratických rovnic. Budeme postupovat obdobně, jako u soustav dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, které jsme popsali v příslušném článku.
Jako obvykle si dané postupy ukážeme na příkladech.
Příklad 1
Řešte soustavu rovnic:
\begin{align*}
x^2 + y^2 -4 &= 0 \\
x + 2y &= 4
\end{align*}
Řešení
První rovnice je kvadratická a druhá lineární. V takovémto případě řešíme soustavu dosazovací metodou, kdy si z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou, a toto vyjádření dosadíme do kvadratické rovnice.
U naší soustavy se přímo nabízí vyjádřit si z lineární rovnice neznámou x odečtením členu $ 2y $:
\begin{align*} x + 2y &= 4 \qquad |-2y \\ x &= 4 -2y \end{align*}
Nyní výraz $ 4 -2y $ dosadíme za neznámou x do kvadratické rovnice, kterou upravíme do základního tvaru:
\begin{align*} x^2 + y^2 -4 &= 0 \qquad |x = 4 -2y \\ (4 -2y)^2 + y^2 -4 &= 0 \\ 16 -16y + 4y^2 + y^2 -4 &= 0 \\ 5y^2 -16y + 12 &= 0 \end{align*}
Máme kvadratickou rovnici s koeficienty a = 5, b = -16, c = 12. Spočítáme diskriminant:
\begin{align*} D &= b^2 -4ac = (-16)^2 -4 \cdot 5 \cdot 12 = \\ &= 256 -240 = 16 \end{align*}
Diskriminant je kladný, takže naše kvadratická rovnice bude mít dvě řešení (kořeny), které spočítáme pomocí příslušného vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:
\begin{align*} y_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \\ &= \frac{16 \pm 4}{10} = \frac{8 \pm 2}{5} \end{align*}
\[ y_1 = \frac{8 + 2}{5} = \frac{10}{5} = 2 \]
\[ y_2 = \frac{8 -2}{5} = \frac{6}{5} \]
Dosazením těchto výsledků do našeho vyjádření $ x = 4 -2y $ spočítáme neznámou x – protože máme dvě hodnoty neznámé y, obdržíme rovněž dvě hodnoty neznámé x. Je důležité přiradit k sobě neznámé se stejnými indexy – k neznámé x1 bude patřit neznámá y1 a k neznámé x2 bude patřit neznámá y2, protože právě tyto páry hodnot vytvoří uspořádané dvojice čísel, jež budou tvořit řešení soustavy.
\[ x_1 = 4 -2y_1 = 4 -2 \cdot 2 = 4 -4 = 0 \]
\begin{align*} x_2 &= 4 -2y_2 = 4 -2 \cdot \frac{6}{5} = 4 -\frac{12}{5} = \\ &= \frac{20 -12}{5} = \frac{8}{5} \end{align*}
Soustava má dvě řešení, a sice dvě uspořádané dvojice čísel [x1; y1] a [x2; y2], které můžeme zapsat jako množinu K kořenů soustavy takto:
\[ K = \bigg\{\bigg[0; 2\bigg], \bigg[\frac{8}{5}; \frac{6}{5}\bigg]\bigg\} \]
Na pořadí těchto uspořádaných dvojic nezáleží, ale na pořadí čísel v každé z nich ano.
Příklad 2
Řešte soustavu rovnic:
\begin{align*}
3x^2 + 2xy -5y^2 &= 0 \\
3x + 5y -2 &= 0
\end{align*}
Řešení
Stejně jako v předchozím příkladu si vyjádříme jednu neznámou z lineární rovnice (druhá rovnice naší soustavy):
\begin{align*} 3x + 5y -2 &= 0 \qquad |-5y + 2 \\ 3x &= 2 -5y \qquad |:3 \\ x &= \frac{2 -5y}{3} \end{align*}
Toto vyjádření dosadíme do kvadratické rovnice (první rovnice naší soustavy):
\begin{align*} 3x^2 + 2xy -5y^2 &= 0 \qquad |x = \frac{2 -5y}{3} \\ 3 \cdot \bigg(\frac{2 -5y}{3}\bigg)^2 + 2 \cdot \frac{2 -5y}{3}y -5y^2 &= 0 \\ 3 \cdot \frac{4 -20y + 25y^2}{9} + \frac{4 -10y}{3}y -5y^2 &= 0 \\ \frac{4 -20y + 25y^2}{3} + \frac{4 -10y}{3}y -5y^2 &= 0 \qquad | \cdot 3 \\ 4 -20y + 25y^2 + (4 -10y)y -15y^2 &= 0 \\ 4 -20y + 25y^2 + 4y -10y^2 -15y^2 &= 0 \\ -16y + 4 &= 0 \qquad |-4 \\ -16y &= -4 \qquad |:(-16) \\ y &= \frac{4}{16} \\ y &= \frac{1}{4} \end{align*}
Neznámá y ve druhé mocnině, tedy y2, se v rovnici sečetla na nulu, čímž pádem se z kvadratické rovnice stala rovnice lineární s jedním řešením $ y = \frac{1}{4} $. Teď tedy stačí k ní dopočítat příslušnou hodnotu neznámé x dosazením výsledku do lineární rovnice, resp. do našeho vyjádření:
\begin{align*} x &= \frac{2 -5y}{3} \qquad |y = \frac{1}{4} \\ x &= \frac{2 -5 \cdot \frac{1}{4}}{3} \\ x &= \frac{2 -\frac{5}{4}}{3} \\ x &= \frac{\frac{3}{4}}{3} \\ x &= \frac{1}{4} \end{align*}
Soustava má jediné řešení, kterým je jedna uspořádaná dvojice čísel. Můžeme zapsat množinu K jejích kořenů:
$$ K = \bigg\{\bigg[\frac{1}{4}; \frac{1}{4}\bigg]\bigg\} $$
Příklad 3
Řešte soustavu rovnic:
\begin{align*}
4x^2 -5y^2 &= -320 \\
3x^2 + 2y^2 &= 588
\end{align*}
Řešení
Obě rovnice jsou kvadratické, avšak obsahují pouze neznámé ve druhých mocninách, z nichž jednu můžeme eliminovat pomocí sčítací metody. Zvolíme si k eliminaci například y2:
\begin{align*} 4x^2 -5y^2 &= -320 \qquad | \cdot 2 \\ 3x^2 + 2y^2 &= 588 \qquad | \cdot 5\\ \hline \\ 8x^2 -10y^2 &= -640 \\ 15x^2 + 10y^2 &= 2940 \\ \hline \\ 23x^2 &= 2300 \qquad |:23 \\ x^2 &= 100 \end{align*}
Získali jsme jednoduchou neúplnou kvadratickou rovnici, kterou vyřešíme zkráceným způsobem, tj. odmocněním pravé strany s tím, že před výsledkem bude v jednom případě znaménko plus a ve druhém minus (protože 102 = 100, ale také (-10)2 = 100):
\begin{align*} x^2 &= 100 \\ x_{1,2} &= \pm \sqrt{100} \\ x_{1,2} &= \pm 10 \\ \end{align*}
$$ x_1 = 10 $$
$$ x_2 = -10 $$
Ke každému výsledku x spočítáme jeho dosazením do libovolné rovnice soustavy příslušný výsledek y – protože však budeme dosazovat do kvadratické rovnice, získáme ke každému výsledku x dva výsledky y. Zvolme si například druhou rovnici původní soustavy:
$$ 3x^2 + 2y^2 = 588 $$
Vlastní výpočet neznámé y pro první hodnotu neznámé x = 10 bude vypadat takto:
\begin{align*} 3x_1^2 + 2y_1^2 &= 588 \qquad |x_1 = 10 \\ 3 \cdot 10^2 + 2y_1^2 &= 588 \\ 3 \cdot 100 + 2y_1^2 &= 588 \\ 300 + 2y_1^2 &= 588 \qquad |-300 \\ 2y_1^2 &= 288 \qquad |:2 \\ y_1^2 &= 144 \\ y_1 &= \pm \sqrt{144} \\ y_1 &= \pm 12 \end{align*}
$$ y_{11} = 12 $$
$$ y_{12} = -12 $$
Máme tedy zatím dvě uspořádané dvojice čísel jako kořeny soustavy, a sice $ [10; 12] $ a $ [10; -12] $.
Nyní spočítáme výsledky neznámé y pro druhou hodnotu neznámé x = -10:
\begin{align*} 3x_2^2 + 2y_2^2 &= 588 \qquad |x_2 = -10 \\ 3 \cdot (-10)^2 + 2y_2^2 &= 588 \\ 3 \cdot 100 + 2y_2^2 &= 588 \\ 300 + 2y_2^2 &= 588 \qquad |-300 \\ 2y_2^2 &= 288 \qquad |:2 \\ y_2^2 &= 144 \\ y_2 &= \pm \sqrt{144} \\ y_2 &= \pm 12 \end{align*}
$$ y_{21} = 12 $$
$$ y_{22} = -12 $$
Získali jsme další dvě uspořádané dvojice čísel jako kořeny soustavy, a sice $ [-10; 12] $ a $ [-10; -12] $.
Celkem má tedy naše soustava čtyři řešení (kořeny), které můžeme zapsat jako množinu K těchto kořenů takto:
\[ K = \{[10; 12], [10; -12], [-10; 12], [-10; -12]\} \]
Nebo zkráceně takto:
\[ K = \{[10; \pm 12], [-10; \pm 12]\} \]
Příklad 4
Řešte soustavu rovnic:
\begin{align*} x^2 + y^2 &= 25 \\ x^2 + y^2 + 18x -18y &= 7 \end{align*}
Řešení
Soustavu převedeme pomocí sčítací metody na jednodušší ekvivalentní soustavu. První rovnici ponecháme beze změny a od druhé rovnice odečteme první:
\begin{align*} x^2 + y^2 &= 25 \\ 18x -18y &= -18 \end{align*}
Druhou rovnici můžeme ještě zjednodušit vydělením číslem 18:
\begin{align*} x^2 + y^2 &= 25 \\ 18x -18y &= -18 \qquad |:18 \\ \hline \\ x^2 + y^2 &= 25 \\ x -y &= -1 \\ \hline \end{align*}
Dospěli jsme k soustavě kvadratické a lineární rovnice. Z lineární rovnice (druhá rovnice zjednodušené soustavy) si můžeme vyjádřit například neznámou y:
\begin{align*} x -y &= -1 \qquad |-x \\ -y &= -x -1 \qquad | \cdot (-1) \\ y &= x + 1 \end{align*}
Výraz $ x + 1 $ dosadíme za neznámou y do první rovnice, kterou vyřešíme:
\begin{align*} x^2 + y^2 &= 25 \qquad |y = x + 1 \\ x^2 + (x + 1)^2 &= 25 \\ x^2 + x^2 + 2x + 1 &= 25 \\ 2x^2 + 2x + 1 &= 25 \qquad |-25 \\ 2x^2 + 2x -24 &= 0 \qquad |:2 \\ x^2 + x -12 &= 0 \end{align*}
\begin{align*} D &= b^2 -4ac = 1^2 -4 \cdot 1 \cdot (-12) = \\ &= 1 + 48 = 49 \end{align*}
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 7}{2} \]
$$ x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 $$
$$ x_2 = \frac{-1 -7}{2} = -4 $$
Získané výsledky jeden po druhém dosadíme do našeho vyjádření $ y = x + 1 $ a dopočítáme si příslušné hodnoty neznámé y. Opět musíme dbát na správné spárování, tedy abychom k výsledku x1 přiřadili výsledek y1 a k výsledku x2 výsledek y2.
\[ y_1 = x_1 + 1 = 3 + 1 = 4 \]
\[ y_2 = x_2 + 1 = -4 + 1 = -3 \]
Soustava má tedy dvě řešení (kořeny), které tvoří dvě uspořádané dvojice čísel. Tato řešení můžeme zapsat jako množinu K kořenů soustavy takto:
\[ K = \{[3; 4], [-4; -3]\} \]
Závěr
V tomto článku jsme si ukázali, jak se řeší soustavy dvou rovnic, z nichž alespoň jedna je kvadratická. Tím jsme zakončili naši sérii o soustavách více rovnic s více neznámými.