Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých - Matematika nejen pro střední školy

Vítejte u série věnované soustavám rovnic o dvou nebo více neznámých.

V tomto článku se podíváme na nejčastější případ, se kterým se ve středoškolské matematice setkáte, a sice na soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých.

Definice soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých

Pokud tyto neznámé označíme jako x, y, pak můžeme vyslovit následující definici:

Soustava rovnic

\begin{align*}
a_1x + b_1y = c1 \\
a_2x + b_2y = c2
\end{align*}

kde a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ jsou reálná čísla, se nazývá soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y. Řešení této soustavy nazýváme každou uspořádanou dvojici [x₀, y₀], která je řešením obou jejích rovnic.

V soustavě dvou lineárních rovnic o dvou neznámých máme dvě neznámé, které spolu nějakým způsobem souvisí (týkají se jednoho matematického problému, např. slovní úlohy). Řešením soustavy je uspořádaná dvojice čísel, což znamená, že záleží na jejich pořadí. Uspořádané dvojice čísel, nebo obecně uspořádané n-tice, se často zapisují do hranatých závorek.

Pokud bude řešením soustavy např. x = 4 a y = -3, pak množinu K kořenů rovnice zapíšeme jako K = {[4; -3]} (v tomto pořadí). Uspořádaná dvojice stejných čísel, ale v opačném pořadí, tj. [-3; 4] odpovídá úplně jinému řešení. Takže na toto pořadí je třeba dbát.

Zároveň to znamená, že soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých má zpravidla jedno řešení, přestože nám vyjdou dva výsledky (jeden pro neznámou x a druhý pro neznámou y), jelikož dostaneme právě jednu uspořádanou dvojici. V tomto smyslu je to tedy jiné než například u kvadratických rovnic, kde můžeme získat dvě různá řešení, která ale spolu nejsou nijak „provázána“ a netvoří uspořádanou dvojici, čímž pádem na jejich pořadí nezáleží.

Pro vlastní postup řešení soustav dvou lineárních rovnic o dvou neznámých používáme dvě základní metody – sčítací a dosazovací. Pokud nemáte vyloženě zadáno, kterou metodou máte danou soustavu řešit, pak na tom nezáleží a můžete si vybrat tu, která se vám líbí víc nebo vám přijde v daném případě vhodnější.

Obě metody si ukážeme na příkladech. U prvního z nich si uděláme i zkoušku, která se provádí pro každou rovnici zvlášť. U třetího příkladu si ukážeme případ, kdy má soustava nekonečně mnoho řešení, a řekneme si, kdy naopak nemá žádné řešení.

Příklad 1

Řešte soustavu rovnic a proveďte zkoušku:

\begin{align*}
4x + 3y &= 6 \\
2x + y &= 4
\end{align*}

Ze všeho nejdřív si musíme jednotlivé rovnice upravit tak, abychom v každé z nich měli na levé straně nejdřív člen s neznámou x, potom člen s neznámou y a na pravé straně číslo. Tedy abychom v celé soustavě měli členy s neznámou x, členy s neznámou y a čísla uspořádaná hezky pod sebou. Naše soustava je už ale v tomto tvaru zadána, takže zde nic upravovat nemusíme.

1. způsob řešení – sčítací metoda

Podstatou sčítací metody je dosáhnout toho, aby některá z neznámých byla v obou rovnicích „stejněkrát“, ale s opačnými znaménky. To způsobí, že po sečtení těchto rovnic se členy s touto neznámou sečtou na nulu a ze soustavy úplně zmizí. Jinými slovy tuto neznámou ze soustavy eliminujeme – proto se sčítací metodě říká také eliminační metoda. Záleží jen na nás, kterou z neznámých se rozhodneme takto eliminovat.

Proto obě rovnice vynásobíme takovými čísly, aby čísla u členu s vybranou neznámou byla v obou rovnicích stejná, ale v jedné rovnici se znaménkem plus a ve druhé rovnici se znaménkem minus, tzn. aby se lišila pouze znaménky.

Dejme tomu, že se rozhodneme z naší soustavy eliminovat neznámou y. Pak bude stačit, když první rovnici ponecháme stejnou, a druhou rovnici vynásobíme číslem -3:

\begin{align*} 4x + 3y &= 6 \\ 2x + y &= 4 \qquad | \cdot (-3) \\ \hline \\ 4x + 3y &= 6 \\ -6x -3y &= -12 \\ \hline \end{align*}

Všimněte si, že i když jsme s první rovnicí neprovedli žádnou úpravu, tak jsme ji opsali. Je dobrým zvykem vždy napsat pod sebe obě rovnice, které tvoří soustavu, a jako celky je oddělovat vodorovnou čarou.

Teď máme v první rovnici $ +3y $ a ve druhé $ -3y $ a můžeme tedy obě rovnice sečíst, čímž soustavu zrušíme. Sčítání rovnic provádíme „pod sebou“, tzn. že ke členu s neznámou x v první rovnici přičteme člen s neznámou x ve druhé rovnici, ke členu s neznámou y v první rovnici přičteme člen s neznámou y ve druhé rovnici, a nakonec k číslu na pravé straně první rovnice přičteme číslo na pravé straně druhé rovnice. (Píšu „přičteme“, ale samozřejmě, že v případě znaménka minus budeme odčítat.)

Dostaneme následující výsledek:

\begin{align*} 4x + 3y &= 6 \\ -6x -3y &= -12 \\ \hline \\ -2x &= -6 \end{align*}

Výsledkem součtu obou rovnic je jedna rovnice, která díky tomu, že jsme eliminovali neznámou y, jež se sečetla na nulu, teď obsahuje pouze jednu neznámou místo dvou – a takovou rovnici nám nic nebrání dopočítat do číselného výsledku:

\begin{align*} -2x &= -6 \qquad | \cdot (-1) \\ 2x &= 6 \qquad |:2 \\ x &= 3 \end{align*}

Jakmile máme spočítánu jednu neznámou, dosadíme její hodnotu do libovolné z rovnic (původní nebo upravené) a spočítáme si druhou neznámou. V našem případě můžeme výsledek x = 3 dosadit např. do druhé rovnice z původní (zadané) soustavy, protože tato rovnice je jednoduchá a není důvod si komplikovat život: 🙂

\begin{align*} 2x + y &= 4 \qquad | x = 3 \\ 2 \cdot 3 + y &= 4 \\ 6 + y &= 4 \qquad |-6 \\ y &= 4 -6 \\ y &= -2 \end{align*}

Soustava je vyřešená. Pokud chceme řešení zapsat v množinovém tvaru, můžeme množinu K řešení naší soustavy zapsat takto:

$ K = \{[3; -2]\}$

Složené závorky máme v tomto zápisu proto, že zapisujeme množinu, hranaté závorky značí uspořádanou dvojici čísel. Ještě jednou připomeňme, že tato soustava – stejně jako většina ostatních – má právě jedno řešení. Tímto řešením je právě jedna uspořádaná dvojice čísel.

Zkouška

Zkouška není nutnou součástí řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých – pokud ji provádíme, je to pouze z důvodu kontroly, že jsme během řešení neudělali chybu.

Zkoušku provedeme pro každou rovnici zvlášť, tj. dosadíme naše řešení napřed do levé strany první původní rovnice, potom do pravé strany této rovnice a ověříme, zda nám vyjde stejný výsledek. Následně provedeme stejný proces s levou a pravou stranou druhé původní rovnice:

\begin{align*} L_1 &= 4x + 3y = 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-2) = \\ &= 12 -6 = 6 \\ P_1 &= 6 \\ L_1 &= P_1 \\ \\ L_2 &= 2x + y = 2 \cdot 3 + (-2) = \\ &= 6 -2 = 4 \\ P_2 &= 4 \\ L_2 &= P_2 \end{align*}

2. způsob řešení – dosazovací metoda

Připomeňme si zadání původní soustavy:

\begin{align*}
4x + 3y &= 6 \\
2x + y &= 4
\end{align*}

Při použití dosazovací metody si nejprve vyjádříme vybranou neznámou z některé rovnice tak, abychom na levé straně tohoto vyjádření měli pouze jednu tuto neznámou a na pravé straně výraz obsahující druhou neznámou. Nezáleží na tom, kterou neznámou a ze které rovnice si takto vyjádříme, proto si zpravidla vybíráme tak, aby toto vyjádření bylo co nejjednodušší. Z naší soustavy si takto můžeme vyjádřit například neznámou y z druhé rovnice, protože platí:

$$ y = 4 -2x $$

Pokud bychom na toto vyjádření nemohli přijít zpaměti, můžeme si pomoci následujícími úpravami této druhé rovnice:

\begin{align*} 2x + y &= 4 \qquad |-2x \\ y &= 4 -2x \end{align*}

Zde byla úprava velice jednoduchá – stačilo od obou stran rovnice odečíst výraz $ 2x $ a dosáhli jsme požadovaného stavu, kdy máme na levé straně pouze jednu neznámou y, a na pravé straně výraz obsahující neznámou x (a už žádné další y).

Dále dosadíme výraz na pravé straně tohoto vyjádření (tedy $ 4 -2x $) za neznámou, kterou máme na levé straně vyjádření (tedy za y) do druhé rovnice, než je ta, ze které jsme toto vyjádření získali (v našem případě tedy do první rovnice soustavy). V podstatě tuto neznámou nahradíme naším výrazem neboli provedeme substituci – proto se této metodě říká také substituční metoda.

V našem případě to tedy znamená, že vezmeme první rovnici soustavy a všude, kde v ní máme neznámou y, napíšeme místo ní výraz, který tuto neznámou vyjadřuje, tedy $ 4 -2x $:

\begin{align*} 4x + 3y &= 6 \qquad |y = 4 -2x \\ 4x + 3(4 -2x) &= 6 \end{align*}

V první rovnici soustavy máme neznámou y pouze na jediném místě a sice ve členu $ 3y $, takže jsme toto y nahradili výrazem $ 4 -2x $ pouze zde. Protože číslo 3 se v tomto členu s neznámou y násobí, museli jsme dát výraz $ 4 -2x $ do závorky. (Jinak by se číslo 3 vynásobilo pouze s číslem 4, které tvoří jen část výrazu $ 4 -2x $.)

Tímto nahrazením neboli substitucí jsme získali jednu rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme obvyklým způsobem:

\begin{align*} 4x + 3(4 -2x) &= 6 \\ 4x + 12 -6x &= 6 \\ -2x + 12 &= 6 \qquad |-12 \\ -2x &= -6 \qquad | \cdot(-1) \\ 2x &= 6 \qquad |:2 \\ x &= 3 \end{align*}

Jakmile máme spočítánu jednu neznámou, tak stejně jako u sčítací metody platí, že výsledek můžeme dosadit do libovolné rovnice, a spočítat si druhou neznámou. Protože jsme si ale druhou neznámou vyjadřovali, můžeme dosadit tento výsledek přímo do tohoto vyjádření, a tím si ušetřit práci:

\begin{align*} y &= 4 -2x \qquad |x = 3 \\ y &= 4 -2 \cdot 3 \\ y &= 4 -6 \\ y &= -2 \end{align*}

Tento výpočet bychom mohli provést i na jediném řádku takto:

\[ y = 4 -2x = 4 -2 \cdot 3 = 4 -6 = -2 \]

Zkoušku bychom samozřejmě provedli stejným způsobem jako u sčítací metody.

Příklad 2

Řešte soustavu rovnic:

\begin{align*} \frac{2x + 1}{5} -\frac{3y + 2}{7} &= 2y -x \\ \frac{3x -1}{4} + \frac{7y + 2}{6} &= 2x -y \end{align*}

Soustavu nejdříve upravíme do takového tvaru, abychom v každé rovnici měli na levé straně na prvním místě člen s neznámou x, na druhém místě člen s neznámou y, a na pravé straně číslo. Budeme přitom postupovat pomocí ekvivalentních úprav jako u samostatných rovnic, ale rovnice budeme psát ve dvojicích, které vždy oddělíme vodorovnou čarou:

\begin{align*} \frac{3x -2y}{5} + \frac{5x -3y}{3} &= x + 1 \qquad | \cdot 15 \\ \frac{2x -3y}{3} + \frac{4x -3y}{3} &= y \qquad | \cdot 3 \\ \hline \\ 3(3x -2y) + 5(5x -3y) &= 15x + 15 \\ 2x -3y + 4x -3y &= 3y \\ \hline \\ 9x -6y + 25x -15y &= 15x + 15 \\ 6x -6y &= 3y \qquad |-3y\\ \hline \\ 34x -21y &= 15x + 15 \qquad |-15x \\ 6x -9y &= 0 \qquad |:3 \\ \hline \\ 19x -21y &= 15 \\ 2x -3y &= 0 \\ \hline \end{align*}

Všimněte si, že druhou rovnici jsme na konci úprav vydělili třemi, čímž se stala jednodušší.

1. způsob řešení – sčítací metoda

Stejně jako v prvním příkladu si můžeme vybrat, kterou neznámou budeme eliminovat. Zvolme si pro změnu neznámou x. První rovnici vynásobíme číslem $ -2 $ a druhou číslem $ 19 $, takže v obou rovnicích budeme mít u neznámé x číslo $ 38 $, ale s opačnými znaménky:

\begin{align*} 19x -21y &= 15 \qquad | \cdot -2 \\ 2x -3y &= 0 \qquad | \cdot 19 \\ \hline \\ -38x +42y &= -30 \\ 38x -57y &= 0 \\ \hline \\ \end{align*}

Nyní obě rovnice sečteme. $ -38x + 38x $ dá dohromady nulu a tím pádem členy s neznámou x ze soustavy zmizí. $ +42y -57y $ dá výsledek $ -15y $ a $ -30 + 0 $ dá výsledek $ -30 $. Po sečtení tedy obdržíme jednoduchou rovnici, kterou dopočítáme obvyklým způsobem:

\begin{align*} -38x +42y &= -30 \\ 38x -57y &= 0 \\ \hline \\ -15y &= -30 \qquad | \cdot (-1) \\ 15y &= 30 \qquad |:15 \\ y &= 2 \end{align*}

Jakmile máme spočítánu jednu neznámou, dosadíme výsledek do libovolné rovnice a spočítáme druhou neznámou. Vybereme si samozřejmě co nejjednodušší rovnici, například $ 2x -3y = 0 $:

\begin{align*} 2x -3y &= 0 \qquad |y = 2 \\ 2x -3 \cdot 2 &= 0 \\ 2x -6 &= 0 \qquad |+6 \\ 2x &= 6 \qquad |:2 \\ x &= 3 \end{align*}

Pokud bychom chtěli řešení soustavy zapsat množinově, pak množinu K řešení soustavy bude tvořit jedna uspořádaná dvojice čísel [x; y]:

$$ K = \{[3; 2]\} $$

2. způsob řešení – dosazovací metoda

Naše soustava, kterou jsme upravili do tvaru, kdy máme na začátku každé rovnice nejprve člen s neznámou x, potom člen s neznámou y a na pravé straně číslo, vypadá takto:

\begin{align*} 19x -21y &= 15 \\ 2x -3y &= 0 \\ \hline \end{align*}

Můžeme si vyjádřit např. neznámou x z druhé rovnice:

\begin{align*} 2x -3y &= 0 \qquad + 3y \\ 2x &= 3y \qquad |:2 \\ x &= \frac{3}{2}y \end{align*}

Protože jsme toto vyjádření provedli z druhé rovnice, dosadíme výraz $ \frac{3}{2}x $ za neznámou y do první rovnice, kterou vyřešíme obvyklým způsobem:

\begin{align*} 19x -21y &= 15 \qquad |x = \frac{3}{2}y\\ 19 \cdot \frac{3}{2}y -21y &= 15 \\ \frac{57}{2}y -21y &= 15 \qquad | \cdot 2 \\ 57y -42y &= 30 \\ 15y &= 30 \qquad |:15 \\ y &= 2 \end{align*}

Jakmile máme spočítánu jednu neznámou, dosadíme její hodnotu do libovolné rovnice a spočítáme hodnotu druhé neznámé. Protože jsme použili dosazovací metodu, můžeme ji dosadit přímo do té rovnice, kterou jsme získali při vyjádření neznámé. V našem případě tedy do rovnice $ x = \frac{3}{2}y $, kterou vyřešíme:

\begin{align*} x &= \frac{3}{2}y \\ x &= \frac{3}{2} \cdot 2 \\ x &= 3 \end{align*}

Příklad 3

Řešte soustavu rovnic:

\begin{align*}
3x -5y &= 11 \\
6x -10y &= 22
\end{align*}

Řešení

Už teď si můžeme všimnout, že druhá rovnice je dvojnásobkem první, což znamená, že soustava má nekonečně mnoho řešení. Ale ukažme si, co se stane, když se ji pokusíme vyřešit například sčítací metodou, a co u soustavy rovnic přesně znamená, že má nekonečně mnoho řešení.

\begin{align*} 3x -5y &= 11 \qquad | \cdot (-2) \\ 6x -10y &= 22 \\ \hline \\ -6x + 10y &= -22 \\ 6x -10y &= 22 \\ \hline \\ 0 &= 0 \end{align*}

Po sečtení rovnic nám z ní zmizely obě neznámé a získali jsme platnou rovnost, protože čísla na levé a pravé straně výsledné rovnice jsou stejná. Kdybychom získali neplatnou rovnost (např. $ 0 \neq 5 $ ), znamenalo by to, že soustava nemá žádné řešení.

To že má soustava nekonečně mnoho řešení, ale neznamená, že jejím řešením je libovolná uspořádaná dvojice čísel [x; y], protože neznámé jsou na sobě závislé. Můžete si to představit tak, že jednotlivé neznámé x a y reprezentují souřadnice bodů roviny, a těchto nekonečně mnoho řešení nepokrývá všechny body roviny, ale pouze body, které leží na určité přímce, jež v této rovině leží.

Pokud bychom při řešení nešli příliš do hloubky, napsali bychom, že soustava má nekonečně mnoho řešení, a byli bychom hotovi. Pokud ale chceme být přesnější, tak první neznámou soustavy – v našem případě x – označíme jako parametr t, což je libovolné reálné číslo, tj. napíšeme:

$$ x = t $$

Dále pomocí tohoto parametru vyjádříme druhou neznámou – v našem případě y – jeho dosazením do libovolné rovnice, která tuto neznámou obsahuje. Dosaďme tento parametr například do první rovnice původní soustavy. Dostaneme:

\begin{align*} 3x -5y &= 11 \qquad |x = t \\ 3t -5y &= 11 \qquad |-3t \\ -5y &= 11 -3t \qquad | \cdot (-1) \\ 5y &= 3t -11 \qquad |:5 \\ y &= \frac{3t -11}{5} \\ y &= \frac{1}{5}(3t -11) \end{align*}

Máme tedy obě neznámé vyjádřené pomocí jednoho parametru, který jsme označili jako t. Množinu K řešení soustavy můžeme zapsat takto:

\[ K = \bigg\{\bigg[t; \frac{1}{5}(3t -11)\bigg]; t \in R \bigg\} \]

Závěr

V tomto článku jsme si probrali soustavy dvou rovnic o dvou neznámých a ukázali si dvě základní metody, kterými se řeší.

V příštím článku se podíváme na soustavy tří rovnic o tří neznámých.