V předchozím článku jsme se zabývali rovnicemi s neznámou ve jmenovateli, což se na středních školách někdy probírá jako rovnice v podílovém tvaru.
V tomto článku se budeme věnovat rovnicím v součinovém tvaru. Bude se jednat o rovnice typu „součin dvou nebo více lineárních dvojčlenů rovná se nule“. Striktně vzato už se nejedná o lineární rovnice, ale kvadratické, avšak rovnice v součinovém tvaru se dají rozložit na jednoduché lineární rovnice a řešit způsobem, který jsme se v předchozích článcích už naučili.
Lineární dvojčlen je výraz ve tvaru $ ax + b $, kde x je neznámá a a, b jsou reálná čísla. Příkladem lineárních dvojčlenů mohou být tyto výrazy:
$ 2x + 3 $, $ x \; – \; 5 $, $ 3x + 7 $, $ -x \; – \; 4 $ a podobně.
Je to zkrátka výraz, jehož první člen obsahuje neznámou x vynásobenou určitým číslem, a druhý člen je pak už jen „holé“ číslo bez x.
Klíčem k řešení rovnic v součinovém tvaru je následující skutečnost:
Součin několika činitelů se rovná nule právě tehdy, když alespoň jeden z nich se rovná nule.
Pokud budeme chtít spočítat následující příklad:
\[ 11 \cdot 49{,7} \cdot (24 \; – \; 12) \cdot 889{,}576 \cdot 0 \cdot (318{,}2 + 47{,}5) = \]
tak nemusíme nic počítat, protože všichni činitelé se mezi sebou násobí a jeden z nich je 0, takže výsledek tohoto součinu bude 0. Tato nula zkrátka násobením s ostatními činiteli vynuluje celý výraz. A platí i obráceně, že pokud žádný z činitelů nebude roven nule, tak jejich součin rovněž nebude roven nule. Činitelé jsou výrazy, které se mezi sebou násobí, a mohou to být klidně i závorky, které se násobí s jinými závorkami.
Podívejte se následující příklad:
Příklad 1
Řešte rovnici:
$$ (x \; – \; 2)(2x + 3) = 0 $$
Řešení
Protože jde v podstatě o kvadratickou rovnici, mohli bychom si roznásobit závorky a řešit ji běžným postupem, kterým se řeší kvadratické rovnice. Ale my nic takového dělat nemusíme. Stačí když se zamyslíme a na výsledek přijdeme jednodušeji.
Na pravé straně rovnice máme číslo 0, takže rovnost bude splněna tehdy, když nám na levé straně vyjde také číslo 0. Levá strana je tvořena dvěma závorkami, které se mezi sebou násobí (jsou to tedy činitelé).
Pokud první závorka bude mít hodnotu 0, tak násobením s druhou závorkou se vynuluje celý výraz tvořící levou stranu rovnice. Pokud naopak druhá závorka bude mít hodnotu 0, tak násobením s první závorkou se opět vynuluje celý výraz tvořící levou stranu rovnice.
Takže číslo x je řešením této rovnice právě tehdy, když se buď výraz v první závorce bude rovnat nule, tzn.:
$$ x \; – \; 2 = 0 $$
nebo se bude rovnat nule výraz v druhé závorce, tzn.:
$$ 2x + 3 = 0 $$
Rozložili jsme si tedy naši rovnici na dvě jednoduché dílčí rovnice, které vyřešíme, a tím získáme celkové řešení:
\begin{align*} x \; – \; 2 &= 0 \qquad |+2 \\ x &= 2 \end{align*}
\begin{align*} 2x + 3 &= 0 \qquad |-3 \\ 2x &= -3 \qquad |:2 \\ x &= -\frac{3}{2} \end{align*}
Tato dílčí řešení jsou natolik jednoduchá, že bychom na ně přišli i zpaměti. Stačí si položit otázku: „Jaké číslo musím do první (druhé) závorky dosadit za x, aby hodnota této závorky byla 0?“
Obě dílčí řešení pak společně tvoří množinu K řešení (kořenů) celé rovnice:
$$ K = \bigg\{2; -\frac{3}{2}\bigg\} $$
Více řešení tato rovnice nemá, protože pokud budou obě závorky nenulové, tak jejich součin nikdy nebude roven nule, a tím pádem se nikdy nebude levá strana rovnice rovnat straně pravé.
Jak můžete vidět, tato řešení jsou dvě. Obecně je jich tolik, kolik se nám v rovnici v součinovém tvaru násobí závorek. Ale nemusí se násobit jen závorky, stačí, když se se závorkou násobí samotná neznámá. Ukážeme si to na dalším příkladu:
Příklad 2
Řešte rovnici:
$$ x(x \; – \; 2) = 0 $$
Řešení
Zde máme opět dva činitele: prvním je samotná neznámá x a druhým závorka. Pokud se tedy x bude rovnat nule, násobením se závorkou se vynuluje celý výraz na levé straně rovnice, a levá strana se tím pádem bude rovnat pravé. Máme tedy první řešení:
$$ x_1 = 0 $$
Pokud se bude rovnat nule výraz v závorce, tak násobením s neznámou x před ní se opět vynuluje celý výraz tvořící levou stranu rovnice. To nastane tehdy, když do rovnice dosadíme za x číslo 2. Máme tedy druhé řešení:
$$ x_2 = 2 $$
Můžeme zapsat množinu K kořenů rovnice:
$$ K = \{0; 2\} $$
Poznámka: V podobných rovnicích, tak jak ji máme zadánu v tomto příkladu, se často dělá chyba, že se vydělí neznámou x. Nemůžeme to udělat z toho důvodu, že příslušná ekvivalentní úprava zní: vydělení rovnice nenulovým číslem nebo výrazem – a zrovna zde má jeden z kořenů hodnotu nula.
Někdy je třeba si rovnici do součinového tvaru převést. Ukážeme si to v dalším příkladu:
Příklad 3
Řešte rovnici:
$$ x^2 \; – \; 9 = 0 $$
Řešení:
Výraz na levé straně rovnice rozložíme podle vzorce:
\[ A^2 \; – \; B^2 = (A + B)(A \; – \; B) \]
Po tomto rozkladu bude rovnice vypadat následovně:
\[ (x + 3)(x \; – \; 3) = 0 \]
Dosadíme-li do rovnice za x číslo -3, první závorka bude mít hodnotu nula. Dosadíme-li do rovnice za x číslo 3, druhá závorka bude mít hodnotu nula.
Množina K kořenů rovnice bude tedy tvořena právě těmito dvěma čísly:
$$ K = \{-3; 3\} $$
Příklad 4
Řešte rovnici:
$$ 2y^2 \; – \;4 y = 6y $$
Řešení:
Ze všeho nejdřív se zbavíme výrazu 6y na pravé straně rovnice, abychom tam měli číslo 0, což je jeden ze základních předpokladů, aby rovnice byla v součinovém tvaru:
\begin{align*} 2y^2 \; – \;4y &= 6y \qquad |-6y \\ 2y^2 \; – \; 10y &= 0 \end{align*}
Z výrazu, který tvoří levou stranu rovnice, můžeme vytknout 2y:
\begin{align*}
2y^2 \; – \; 10y &= 0 \\
2y(y \; – \; 5) &= 0
\end{align*}
Nyní máme na levé straně rovnice tři činitele: číslo 2, neznámou y a závorku. Dvojka se nikdy rovnat nule nebude, ta zůstane dvojkou na věky věků. 🙂 Pokud se ale bude rovnat nule neznámá y nebo závorka, pak se bude rovnat nule celá levá strana rovnice.
První řešení rovnice je tedy:
$$ y_1 = 0 $$
Závorka se bude rovnat nule, pokud do ní dosadíme za y číslo 5, takže druhé řešení rovnice je:
$$ y_2 = 5 $$
Můžeme zapsat množinu K kořenů rovnice:
$$ K = \{0; 5\} $$
Příklad 5
Řešte rovnici:
$$ 4t^3 \; – \; t = 0 $$
Řešení
Oba členy na levé straně rovnice obsahují neznámou t, takže ji můžeme vytknout před závorku:
$$ t(4t^2 \; – \; 1) = 0 $$
Výraz v závorce můžeme rozložit na součin dvou závorek použitím rozkladového vzorce:
\[ A^2 \; – \; B^2 = (A + B)(A \; – \; B) \]
Rovnice po tomto rozkladu bude vypadat následovně:
\[ t(2t + 1)(2t \; – \; 1) = 0 \]
Nyní máme na levé straně rovnice tři činitele: neznámou t a dvě závorky. Když se kterýkoli z nich bude rovnat nule, násobením s ostatními činiteli se vynuluje celý výraz, který tvoří levou stranu rovnice, a protože na pravé straně máme také číslo 0, získáme tak platnou rovnost.
První možnost, kdy bude levá strana rovnice rovna nule, nastane tehdy, pokud se bude rovnat nule samotná neznámá t před oběma závorkami, takže první řešení rovnice je:
$$ t_1 = 0 $$
Druhá možnost, kdy bude levá strana rovnice rovna nule, nastane tehdy, pokud se bude rovnat nule první závorka, tedy když:
\begin{align*} 2t + 1 &= 0 \qquad |-1 \\ 2t &= -1 \qquad |:2 \\ t_2 &= -\frac{1}{2} \end{align*}
Konečně třetí možnost, kdy bude levá strana rovnice rovna nule, nastane tehdy, pokud se bude rovnat nule druhá závorka, tedy když:
\begin{align*} 2t \; – \; 1 &= 0 \qquad |+1 \\ 2t &= 1 \qquad |:2 \\ t_3 &= \frac{1}{2} \end{align*}
Rovnice má tedy tři řešení (kořeny). Můžeme zapsat množinu K těchto kořenů:
$$ K = \bigg\{0; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \bigg\} $$
Závěr
V tomto článku jsme si probrali rovnice v součinovém tvaru. V matematice se někdy ještě probírají rovnice v podílovém tvaru, což je ale v podstatě totéž, jak rovnice s neznámou ve jmenovateli, kterými jsme se zabývali v předchozím článku.
Tímto článkem jsme dokončili sérii o lineárních rovnicích. Pokud jste si ji prostudovali celou, pak vám velice gratuluji, protože lineární rovnice tvoří základ pro jiné druhy rovnic i pro spoustu, ne-li většinu, dalších výpočtů v celé matematice!