V předchozím článku jsme si popsali znaky dělitelnosti přirozených čísel. V tomto článku si vysvětlíme, co to jsou prvočísla a čísla složená.
Všechna přirozená čísla můžeme rozdělit podle počtu dělitelů do tří různých kategorií:
- Prvočísla jsou všechna přirozená čísla, která mají právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe.
- Složená čísla jsou všechna přirozená čísla, která mají alespoň tři různé dělitele.
- Číslo 1, které nepovažujeme ani za prvočíslo, ani za číslo složené.
Jinými slovy, každé prvočíslo můžeme beze zbytku vydělit pouze jedničkou nebo sebou samým, zatímco u složených čísel najdeme ještě další dělitele (alespoň jednoho).
První čtyři prvočísla jsou 2, 3, 5 a 7. Dekadický zápis všech větších prvočísel končí na některou z číslic 1, 3, 7 nebo 9. Čísla končící na některou z číslic 0, 2, 4, 6 nebo 8 jsou totiž všechna dělitelná dvěma a čísla končící na číslici 5 jsou dělitelná pěti. Proto, máme-li číslo větší než 10 a zkoumáme, zda se jedná nebo nejedná o prvočíslo, tak pokud nekončí na některou z číslic 1, 3, 7 nebo 9, pak se určitě o prvočíslo nejedná.
Dále při zkoumání daného přirozeného čísla, zda se jedná či nejedná o prvočíslo, platí, že nenajdeme-li dělitele tohoto čísla (jiného než 1), který by byl menší nebo roven než jeho druhá odmocnina, pak už nenajdeme ani žádného jiného dělitele a dané přirozené číslo je tedy prvočíslo.
Ukažme si výše zmíněné poznatky na příkladu:
Mějme například číslo 131 a zkusme rozhodnout, zda je nebo není prvočíslo. Protože končí na jednu z číslic 1, 3, 5, 7, tak by potenciálně mohlo být. Ale je doopravdy? Druhá odmocnina z čísla 131 je nějaká hodnota mezi 11 a 12 (protože $ 11^2 = 121 $ a to je méně než 131, zatímco $ 12^2 = 144 $ a to už je více než 131. Zkusíme tedy zjistit, zda je číslo 131 dělitelné některým z čísel od 2 do 11 – např. pomocí znaků dělitelnosti – a zjistíme, že žádné z nich jeho dělitelem není. To znamená, že číslo 131 je prvočíslo.
Prvočíselný rozklad
Každé složené číslo je možné vyjádřit ve tvaru součinu, jehož každý činitel je prvočíslo. Zápisu čísla ve tvaru tohoto součinu se říká prvočíselný rozklad.
Existuje několik způsobů, jak můžeme prvočíselný rozklad provést. Jeden z nejjednodušších a nejpřímějších vypadá takto:
- Nakreslíme svislou čáru a doleva nahoru napíšeme číslo, jehož prvočíselný rozklad chceme získat.
- Na pravou stranu čáry napíšeme nějaké prvočíslo, kterým je číslo na levé straně dělitelné.
- Na levou stranu o řádek níže napíšeme výsledek dělení čísla z předchozího řádku prvočíslem na pravé straně tohoto řádku.
- Opakujeme kroky č. 2 a 3, dokud na levé straně čáry nezískáme jedničku.
Ukažme si to na příkladu:
Chceme provést prvočíselný rozklad čísla 120:
| 120 | 2 |
| 60 | 2 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
- Číslo 120 je dělitelné prvočíslem 2. Výsledek tohoto dělení je 60 (napsali jsme na levou stranu na nový řádek).
- Číslo 60 je dělitelné prvočíslem 2. Výsledek tohoto dělení je 30 (napsali jsme na levou stranu na nový řádek).
- Číslo 30 je dělitelné prvočíslem 2. Výsledek tohoto dělení je 15 (napsali jsme na levou stranu na nový řádek).
- Číslo 15 je dělitelné prvočíslem 3. Výsledek tohoto dělení je 5 (napsali jsme na levou stranu na nový řádek).
- Číslo 5 je dělitelné prvočíslem 5. Výsledek tohoto dělení je 1 (napsali jsme na levou stranu na nový řádek a ukončili jsme výpočet).
- Prvočísla na pravé straně čáry tvoří náš prvočíselný rozklad.
Číslo 120 tedy můžeme zapsat jako součin prvočísel takto:
$$ 120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 $$
Protože v prvočíselném rozkladu se může nějaké prvočíslo opakovat vícekrát (třeba desetkrát), tak abychom se v tom lépe vyznali, zapisujeme prvočíselný rozklad tak, že místo např. $ 2 \cdot 2 \cdot 2 $ napíšeme $ 2^3 $. Takže celý zápis ještě upravíme takto:
$$ 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 $$
Ukažme si ještě jeden příklad – provedeme prvočíselný rozklad čísla 768:
| 768 | 2 |
| 384 | 2 |
| 192 | 2 |
| 96 | 2 |
| 48 | 2 |
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
Bylo by hrozně nepraktické zapsat prvočíselný rozklad čísla 768 následujícím způsobem:
$$ 768 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 $$
protože z takového zápisu není na první pohled vůbec poznat, kolik těch dvojek tam vlastně máme, je náchylný k chybám atd. Proto tento rozklad zapíšeme takto:
$$ 768 = 2^8 \cdot 3 $$
Z tohoto zápisu hned vidíme, že obsahuje osm dvojek, a navíc je stručnější.
Základní věta aritmetiky
S prvočíselným rozkladem úzce souvisí tzv. základní věta aritmetiky, která tvrdí, že každé přirozené číslo větší než 1 lze rozložit na součin prvočísel, a to jednoznačně až na jejich pořadí. To znamená, že každému přirozenému číslu odpovídá právě jeden prvočíselný rozklad – nemůžeme pro nějaké přirozené číslo získat např. dva nebo více různých prvočíselných rozkladů.
V prvočíselných rozkladech je dobrým zvykem uspořádat činitele tak, aby základy mocnin byly seřazeny vzestupně – tak, jak jsme to udělali v příkladech výše. Tedy ne jako např. $ 60 = 5 \cdot 2^2 \cdot 3 $, ale $ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $.
Při dodržení této zásady je daný zápis prvočíselného rozkladu pro každé přirozené číslo jednoznačný i co do pořadí prvočísel. Tuto skutečnost vyjadřuje přesná matematická formulace základní věty aritmetiky, která zní takto:
Každé přirozené číslo $ n > 1 $ lze zapsat jediným způsobem ve tvaru
$$ p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \cdot … \cdot p_k^{r_k} $$
kde $ p_1 < p_2 < … < p_k $ jsou všechna prvočísla a $ r_1, r_2,…, r_k $ jsou přirozená čísla.
Toto uspořádání prvočísel v zápisu prvočíselného rozkladu od nejmenších po největší tedy základní větu aritmetiky upřesňuje právě o jejich pořadí.
Závěr
V tomto článku jsme probrali prvočísla a složená čísla a ukázali si, jak se provádí prvočíselný rozklad přirozeného čísla.
V následujícím článku se podíváme na největší společný dělitel a nejmenší společný násobek přirozených čísel, a jak se dá prvočíselný rozklad použít na jejich nalezení.