Neúplné kvadratické rovnice

V předchozím článku jsme si popsali veškerou základní teorii ke kvadratickým rovnicím a ukázali si jejich řešení na jednoduchém příkladu.

Příklad, který jsme řešili, byla tzv. úplná kvadratická rovnice. Řekli jsme si, že úplná kvadratická rovnice obsahuje tři členy – kvadratický, lineární a absolutní, přičemž její obecný tvar vypadá následovně:

$$ ax^{2} + bx + c=0 $$

V tomto článku se podíváme na neúplné kvadratické rovnice a ukážeme si alternativní a jednodušší postupy, které se při jejich řešení zpravidla používají.

Neúplná kvadratická rovnice

Neúplná kvadratická rovnice je taková rovnice, která nemá buď lineární nebo absolutní člen. (Kvadratický člen mít kvadratická rovnice musí – bez něj by nebyla kvadratická.)

Podle toho, který z těchto dvou členů v kvadratické rovnici chybí, rozlišujeme dva druhy neúplných kvadratických rovnic:

1. Kvadratická rovnice bez lineárního členu, kterou zpravidla nazýváme ryze kvadratická rovnice.
2. Kvadratická rovnice bez absolutního členu.

I neúplné kvadratické rovnice můžeme řešit stejným způsobem jako kvadratické rovnice úplné – to znamená pomocí vzorců pro výpočet diskriminantu a kořenů, které jsme si popsali v minulém díle této série.

Nicméně v praxi je častěji řešíme postupy jinými, protože jsou jednodušší a kratší. Nemusíme při nich počítat ani diskriminant ani používat vzorec pro výpočet kořenů pomocí koeficientů tak, jak jsme si to ukazovali u kvadratických rovnic úplných.

Ryze kvadratická rovnice

Tento druh neúplné kvadratické rovnice postrádá lineární člen bx. Její obecný tvar je tedy vypadá takto:

$$ ax^{2} + c = 0 $$

Konkrétní ryze kvadratická rovnice může vypadat například takto:

$$ x^{2} \; – \; 16 = 0 $$

Ukážeme si na ní oba postupy řešení – „klasický“ i jednodušší, alternativní, abychom měli srovnání a lépe pochopili hlubší souvislosti.

Postup řešení ryze kvadratické rovnice pomocí vzorců pro diskriminant a kořeny

Nejdříve tuto rovnici vyřešíme stejným způsobem, který se používá u kvadratických rovnic úplných.

1. Vypíšeme si její koeficienty

a = 1
b = 0
c = -16

Proč je koeficient b roven nule? Kdybychom totiž tuto rovnici chtěli zapsat stejným způsobem, jako kvadratickou rovnici úplnou, udělali bychom to takhle:

$$ x^{2} + 0x \; – \; 16 = 0 $$

Jenže 0x se bude rovnat nule vždy, protože když v matematice cokoli vynásobíme nulou, tak výsledek bude 0.

Dostali bychom tedy tvar

$$ x^{2} + 0 \; – \; 16 = 0 $$

a protože psát nulu, kterou někde přičítáme nebo odečítáme, je zbytečné, dostaneme nakonec naši původní rovnici, kterou řešíme:

$$ x^{2} \; – \; 16 =0 $$

2. Vypočítáme diskriminant

\begin{align*} D &= b^{2} \; – \; 4ac =0^2 \; – \; 4 \cdot 1 \cdot (-16)= \\ &= 0 \; – \; (-64)=0+64=64 \end{align*}

3. Vypočítáme kořeny

\begin{align*} x_{1,2} &=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{0 \pm \sqrt{64}}{2\cdot 1}= \\ &= \frac{\pm \sqrt{64}}{2} = \frac{\pm 8}{2} = \pm4 \end{align*}

Dostali jsme tedy dva kořeny x₁ = 4 a x₂ = -4.

Vidíme, že kořeny naší rovnice jsou co do absolutní hodnoty stejné a liší se pouze znaménkem. Jsou to tedy čísla opačná. A to je další vlastnost ryze kvadratických rovnic: Pro každou ryze kvadratickou rovnici platí, že její kořeny – pokud existují – jsou čísla opačná.

Jednodušší postup řešení ryze kvadratické rovnice

Nyní si ukážeme jiný postup pro řešení naší ryze kvadratické rovnice. Ten, který se zpravidla používá v praxi:

1. Kvadratický člen ponecháme na levé straně rovnice a absolutní člen si převedeme na její pravou stranu

U naší rovnice

$$ x^{2} \; – \; 16 = 0 $$

k ní tedy přičteme číslo 16, abychom se ho z levé strany zbavili a dostaneme:

$$ x^{2} = 16 $$

2. Obě strany rovnice odmocníme, přičemž k neznámé x na levé straně dopíšeme dolní indexy 1,2 a před odmocninu na pravé straně napíšeme znaménka plus a minus

Dostaneme:

\begin{align*}
x_{1,2} &= \pm \sqrt{16} \\
x_{1,2} &= \pm 4
\end{align*}

Hotovo. Naše rovnice je vyřešená. Jak můžete vidět, tento způsob výpočtu je podstatně kratší a rychlejší.

Možná se ptáte, proč jsme před odmocninu čísla 16 museli napsat znaménko plus i mínus. Je to proto, že druhá odmocnina je v matematice definovaná jako takové kladné číslo, které pokud vynásobíme sebou samým, tak dostaneme právě to číslo, které odmocňujeme. A problém je ve slově „kladné“. Ve skutečnosti totiž platí, že nejen 4·4 = 16, ale také (-4)·(-4) = 16.

Proto oba výsledky x₁ = 4 i x₂ = -4 vyhovují naší rovnici.

Kdybychom totiž na pravé straně rovnice ponechali druhou odmocninu z čísla 16 bez záporné varianty, dostali bychom výsledek pouze kladné číslo 4. My se ale pohybujeme na poli kvadratických rovnic, které mohou mít klidně řešení dvě, a tak záporná čísla nemůžeme ignorovat.

Pokud máme na levé straně rovnice více než jedno x², musíme ji samozřejmě nejdříve vydělit. Například budeme mít rovnici:

$$ 9x^{2} \; – \; 4 = 0 $$

V tomto případě nejdříve rovnici vydělíme číslem 9 a teprve potom si absolutní člen převedeme na pravou stranu. Celé naše řešení tedy bude vypadat následovně:

\begin{align*}
x^2 \; – \; 4 &= 0 \qquad |:9\\
x^2 \; – \; \frac{4}{9} &= 0 \qquad |+ \frac{4}{9} \\
x^2 &= \frac{4}{9} \\
x_{1,2} &= \pm \sqrt{\frac{4}{9}} \\
x_{1,2} &= \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \\
x_{1,2} &= \pm \frac{2}{3}
\end{align*}

Rovnice má opět dva kořeny, které tvoří čísla opačná – v tomto případě zlomky.

Poslední důležitá věc, kterou je třeba zmínit, je případ, kdy ryze kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení.

Je to tehdy, pokud na její levé straně bude za neznámou x² následovat kladné číslo (diskriminant by v tomto případě vyšel záporný). Po jeho převedení na stranu pravou se z něj totiž stane číslo záporné a druhá odmocnina se záporných čísel v oboru reálných čísel neexistuje.

Opět si to ukážeme na příkladu.

Pozměníme zadání výše uvedené rovnice tak, že místo čísla -16 na její levé straně bude číslo +16 a pokusíme se ji vyřešit:

\begin{align*}
x^{2} + 16 &= 0 \qquad |-16 \\
x^{2} &= -16 \\
x_{1,2} &= \pm \sqrt{-16}
\end{align*}

Dostali jsme se do situace, kdy máme pod druhou odmocninou záporné číslo, a rovnice tudíž nemá řešení.

Jediný případ, kdy bude mít ryze kvadratická rovnice pouze jeden tzv. dvojnásobný kořen, je ryze kvadratická rovnice, která navíc nemá ani absolutní člen. I tento druh rovnice se stále nazývá ryze kvadratická rovnice. Řekli jsme si, že pokud ryze kvadratická rovnice má řešení, tak jsou to vždy čísla opačná. Jediné číslo, jehož opačným číslem je ono samo, je nula. Z toho vyplývá, že tento dvojnásobný kořen bude právě číslo 0.

Tyto rovnice patří mezi nejjednodušší kvadratické rovnice vůbec. Jejich zadání může vypadat například následovně:

\begin{align*}
x^{2}&=0; \\
5x^{2} &= 0; \\
-7x^{2} &= 0.
\end{align*}

a podobně.

Kvadratická rovnice bez absolutního členu

Tento druh neúplné kvadratické rovnice, jak napovídá už její název, nemá absolutní člen – tedy postrádá číslo, které je označováno jako koeficient c. Můžeme se na to dívat také tak, že koeficient c libovolné kvadratické rovnice bez absolutního členu je roven nule. Opět bychom ji mohli vyřešit stejným postupem, jako úplnou kvadratickou rovnici, a to tak, že za c všude dosadíme právě onu nulu.

Ukažme si na příkladu „klasický“ i alternativní kratší způsob jejího řešení.

Budeme mít například následující kvadratickou rovnici bez absolutního členu:

$$ 3x^{2} + 5x = 0 $$

Postup řešení kvadratické rovnice bez absolutního členu pomocí vzorců pro diskriminant a kořeny

1. Vypíšeme si její koeficienty

a = 3
b = 5
c = 0

2. Spočítáme diskriminant

\begin{align*}
D &= b^{2} \; – \; 4ac = 5^{2} \; – \; 4 \cdot 3 \cdot 0 = \\
&= 25 \; – \; 0 \; = 25
\end{align*}

3. Vypočítáme kořeny:

\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3}= \\ &= \frac{-5 \pm 5}{6} \end{align*}

Jednodušší postup řešení kvadratické rovnice bez absolutního členu

Kvadratická rovnice bez absolutního členu má na levé straně v obou členech neznámou x. Toho můžeme využít a vytknout si toto x před závorku:

\begin{align*}
3x^2+5x &= 0 \\
x \cdot (3x + 5) &= 0
\end{align*}

Jakmile máme rovnici v tomto tvaru, k dalšímu postupu si již vystačíme s čistou „selskou“ logikou. Jak? Zamyslete se nad následující úvahou:

Na pravé straně rovnice máme číslo 0. Protože obě strany rovnice se sobě rovnají (jinak by to nebyla rovnice), znamená to, že levá strana rovnice se musí také rovnat nule. Tím pádem si můžeme položit otázku, kdy, resp. za jakých podmínek, se levá strana rovnice bude nule rovnat?

Levou stranu rovnice nyní tvoří součin dvou činitelů: tím prvním je neznámá x před závorkou a tím druhým je samotná závorka.

V matematice platí, že když mezi sebou násobíme více věcí, tak pokud kterákoli z nich bude nulová, pak i jejich součin bude nulový.

V našem případě to znamená, že pokud se bude rovnat nule x před závorkou, tak se bude rovnat nule i násobek tohoto x a závorky čili celá levá strana naší rovnice. A stejně tak platí, že celá levá strana se bude rovnat nule, pokud se bude rovnat nule výraz v závorce.

Máme tedy dvě možnosti, aby naše rovnice byla splněna. Buď bude platit, že:

$$ x=0 $$

nebo bude nulový výraz v závorce, tedy bude platit:

$$ 3x+5=0 $$

V prvním případě jsme už vlastně dostali první kořen rovnice, takže ho můžeme rovnou označit jako x₁:

$$ x_{1}=0 $$

Druhá možnost tvoří jednoduchou lineární rovnici, kterou lehce dopočítáme a získáme tak druhý kořen, který označíme jako x₂:

\begin{align*}
3x + 5 &= 0 \qquad |-5 \\
3x &= -5 \qquad |:3 \\
x_2 &= – \frac{5}{3}
\end{align*}

Pro každou kvadratickou rovnici bez absolutního členu platí, že má vždy dva kořeny, z nichž alespoň jeden je roven nule. To mj. znamená, že neexistuje kvadratická rovnice bez absolutního členu, která by řešení neměla.

Shrnutí

Na závěr si všechny poznatky z tohoto článku shrneme:

Existují dva druhy neúplných kvadratických rovnic: ryze kvadratické rovnice a kvadratické rovnice bez absolutního členu.

Každou neúplnou kvadratickou rovnici můžeme vyřešit stejným postupem jako kvadratickou rovnici úplnou anebo použít zkrácený postup.

Pro ryze kvadratické rovnice platí:

• Koeficient b = 0.
• Pokud má rovnice řešení, jsou to vždy dvě navzájem opačná čísla.
• Můžeme ji vyřešit způsobem, že upravíme její tvar tak, abychom na levé straně měli pouze x² a na pravé straně číslo. Poté toto číslo odmocníme a kladná i záporná varianta výsledku budou námi hledané kořeny.
• Pokud po úpravě popsané v předchozí odrážce budeme mít na pravé straně rovnice číslo záporné, pak rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení.
• Speciálním druhem ryze kvadratické rovnice je rovnice, která nemá ani absolutní ani lineární člen. Taková rovnice má jeden dvojnásobný kořen x = 0.

Pro kvadratické rovnice bez absolutního členu platí:

• Koeficient c = 0.
• Rovnice má dva kořeny, z nichž jeden je vždy roven nule.
• Můžeme ji vyřešit způsobem, že z její levé strany vytkneme neznámou x před závorku. Prvním kořenem bude číslo 0 a druhý získáme tak, že si sestavíme jednoduchou lineární rovnici z výrazu v této závorce, kterou položíme rovno nule a vyřešíme.
• Neexistuje kvadratická rovnice bez absolutního členu, která by neměla žádné řešení.

Závěr

V tomto článku jsme si podrobně popsali neúplné kvadratické rovnice. Navázali jsme tak na předchozí díl, ve kterém jsme si popsali kvadratické rovnice úplné. V příštím díle si popíšeme vztahy mezi koeficienty a kořeny kvadratické rovnice (tzv. Viètovy vzorce) a způsob, jak se u některých úplných kvadratických rovnic dají využít k jejich rychlému vyřešení. Také si řekneme, co to je kvadratická rovnice v normovaném tvaru.