V předchozím článku jsme si řekli, co jsou prvočísla a čísla složená. Také už víme, co je to dělitel a násobek přirozeného čísla.
V tomto článku si vysvětlíme pojmy největší společný dělitel a nejmenší společný násobek, které se v matematice používají neustále aniž bychom si to nutně museli uvědomovat, jak uvidíme dále.
Největší společný dělitel
Ukažme si pojem největší společný dělitel a jeho hledání rovnou na příkladě: Máme dvě přirozená čísla 24 a 16 a máme najít jejich největšího společného dělitele.
Jak napovídá slovo „společný“, musí jít o takového dělitele, kterým je možné beze zbytku vydělit obě zmíněná čísla, a jak napovídá slovo „největší“, tak pokud existuje takových společných dělitelů více, musíme vybrat ten největší.
Nalezení největšího společného dělitele užitím množin dělitelů
Můžeme postupovat například tak, že si vypíšeme všechny dělitele obou čísel, vyhledáme všechny společné a z nich vybereme největšího:
$$ D(24) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} $$
$$ D(16) = \{1, 2, 4, 8, 16\} $$
Společní dělitelé čísel 24 a 16 jsou čísla 1, 2, 4, 8. Největší z nich je číslo 8.
Největší společný dělitel se značí D. Skutečnost, že největší společný dělitel čísel 24 a 16 je číslo 8, zapíšeme takto:
$$ D(24, 16) = 8 $$
Pozor! Množina všech dělitelů nějakého čísla se také značí D, ale není to totéž jako největší společný dělitel. Rozdíl je v tom, že u výčtu všech dělitelů čísla jde skutečně o množinu, zatímco největší společný dělitel není množina, ale číslo.
Nalezení největšího společného dělitele skrze prvočíselné rozklady
Jiný postup při hledání největšího společného dělitele je založen na prvočíselných rozkladech. Proveďme tyto rozklady tak, jak jsme si to ukazovali v předchozím článku:
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 16 | 2 |
| 8 | 2 |
| 4 | 2 |
| 2 | 2 |
| 1 |
Máme tedy následující rozklady:
\begin{align*} 24 &= 2^3 \cdot 3 \\ 16 &= 2^4 \end{align*}Při hledání největšího společného dělitele vybereme z prvočíselných rozkladů pouze taková prvočísla, která se vyskytují zároveň ve všech rozkladech, přičemž exponent každého vybraného prvočísla je nejmenší exponent vyskytující se u tohoto prvočísla v jednotlivých rozkladech, a takto získaná čísla spolu navzájem vynásobíme.
V našem případě oba rozklady mají společné pouze jedno prvočíslo a sice číslo 2, takže už ho není s čím násobit, přičemž toto číslo s nejmenším exponentem je $ 2^3 = 8 $.
Tento způsob hledání největšího společného dělitele pomocí prvočíselných rozkladů zpravidla použijeme až u větších čísel. Ukažme si to ještě na jednom příkladu, aby nám byl tento postup jasnější:
Zadání: Najděte největšího společného dělitele čísel 5292, 7056 a 2520.
Řešení: Provedeme prvočíselné rozklady všech tří čísel:
5292:
| 5292 | 2 |
| 2646 | 2 |
| 1323 | 3 |
| 441 | 3 |
| 147 | 3 |
| 49 | 7 |
| 7 | 7 |
| 1 |
7056:
| 7056 | 2 |
| 3528 | 2 |
| 1764 | 2 |
| 882 | 2 |
| 441 | 3 |
| 147 | 3 |
| 49 | 7 |
| 7 | 7 |
| 1 |
2520:
| 2520 | 2 |
| 1260 | 2 |
| 630 | 2 |
| 315 | 3 |
| 105 | 3 |
| 35 | 5 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Máme tedy následující rozklady:
\begin{align*} 5292 &= 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^2 \\ 7056 &= 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \\ 2520 &= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \end{align*}Ze všech tří rozkladů vybereme pouze ta prvočísla, která jsou zastoupená v každém z nich, přičemž budeme vybírat vždy to s nejnižším exponentem:
- Prvočíslo 2 je obsaženo ve všech rozkladech, a to s nejnižším exponentem je $ 2^2 $.
- Prvočíslo 3 je obsaženo ve všech rozkladech, a to s nejnižším exponentem je $ 3^2 $.
- Prvočíslo 5 není obsaženo ve všech rozkladech, proto ho nevybereme.
- Prvočíslo 7 je obsaženo ve všech rozkladech, a to s nejnižším exponentem je samotná sedmička bez exponentu, což je totéž, jako bychom napsali $ 7^1 $.
Nyní tato vybraná čísla vynásobíme:
$$ 2^2 \cdot 3 ^2 \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 252 $$
Získali jsme výsledek:
$$ D(5292, 7056, 2520) = 252 $$
Nalezení největšího společného dělitele zpaměti
Pro relativně malá čísla, jako 24 a 16, najdeme největšího společného dělitele i zpaměti. Musíme si pouze položit otázku: „Jaké je největší číslo, kterým můžeme vydělit všechna naše čísla, pro něž největší společný dělitel hledáme?“
Například vidíme, že obě čísla jsou sudá, takže jeden z jejich společných dělitelů je číslo 2. Nyní si můžeme říct: „Dala by se tato naše čísla vydělit nějakým větším číslem?“ Zkusíme např. dvojnásobek dvojky, tedy číslo 4, a opět vidíme, že obě čísla můžeme čtverkou bez problémů vydělit. Takto můžeme zkoušet další násobky našeho nalezeného největšího dělitele, dokud zkrátka nenajdeme ten největší.
Největšího společného dělitele používáme například při krácení zlomků. Když totiž hledáme největší číslo, kterým bychom mohli zlomek vykrátit, hledáme právě největšího společného dělitele pro čísla, která tvoří čitatel a jmenovatel daného zlomku.
Například pokud bychom chtěli zlomek tvořený právě našimi čísly 24 a 16, tj. $ \frac{24}{16} $ vykrátit do základního tvaru, vydělíme jeho čitatele a jmenovatele právě největším společným dělitelem těchto čísel:
$$ \frac{24}{16} = \frac{24:8}{16:8} = \frac{3}{2} $$
Nejmenší společný násobek
Opět si ukažme pojem nejmenší společný násobek a jeho hledání rovnou na příkladě: Máme dvě přirozená čísla 24 a 60 a máme najít jejich nejmenší společný násobek.
Jak napovídá slovo „společný“, musí jít o takový násobek, který je možné beze zbytku vydělit oběma zmíněnými čísly, a jak napovídá slovo „nejmenší“, tak (společných násobků existuje nekonečně mnoho) musíme vybrat ten nejmenší.
Nalezení nejmenšího společného násobku užitím množin násobků
Můžeme si vypsat několik prvních násobků všech čísel, pro která nejmenší společný násobek hledáme, a vybrat ten první, který se vyskytuje ve všech množinách. My máme jen dvě čísla, tak si vypíšeme jejich prvních několik násobků (nemůžeme vypsat všechny, protože je jich nekonečně mnoho):
$$ N(24) = \{24, 48, 72, 96, 120,…\} $$
$$ N(60) = \{60, 120, 180, 240, 300,…\} $$
Hledáme nejmenší číslo, které je prvkem obou množin. Takové číslo se v zápisech obou množin již vyskytuje – je to číslo 120.
Nejmenší společný násobek se značí n. Skutečnost, že nejmenší společný násobek čísel 24 a 60 je číslo 120, zapíšeme takto:
$$ n(24, 60) = 120 $$
Nalezení nejmenšího společného násobku skrze prvočíselné rozklady
Proveďme prvočíselné rozklady našich čísel 24 a 60:
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 60 | 2 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Máme tedy následující rozklady:
\begin{align*} 24 &= 2^3 \cdot 3 \\ 16 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \\ \end{align*}Při hledání nejmenšího společného násobku vybereme z prvočíselných rozkladů taková prvočísla, která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu, přičemž exponent každého vybraného prvočísla je největší exponent vyskytující se u tohoto prvočísla v jednotlivých rozkladech, a takto získaná čísla spolu navzájem vynásobíme.
Všimněte si podobnosti i rozdílů právě vyjádřené metody u největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku – rozdíly jsou ve slovech napsaných kurzivou.
U největšího společného dělitele jsme vybírali prvočísla, která jsou ve všech rozkladech, zde vybíráme čísla, která jsou alespoň v jednom z nich (tím pádem se jich vlastně snažíme vybrat víc). U největšího společného dělitele jsme vybírali prvočísla s nejmenšími exponenty, zde vybíráme prvočísla s největšími exponenty (tím pádem se vlastně snažíme vybrat větší čísla).
Obě tyto skutečnosti jako by směřovaly k tomu, že u největšího společného dělitele se toho snažíme vybrat co nejméně, zatímco u nejmenšího společného násobku co nejvíce. To může být pro vás dobrá mnemotechnická pomůcka pro zapamatování těchto postupů, protože nejmenší společný násobek zpravidla je větší číslo než největší společný dělitel.
Vraťme se však k našim rozkladům. V našem případě se aspoň v jednom z rozkladů vyskytují prvočísla 2, 3 a 5. Číslo 2 s největším exponentem je v rozkladech zastoupeno jako $ 2^3 $, číslo 3 s největším exponentem jako 3 bez exponentu, což je stejné jako $ 3^1 $, a číslo 5 rovněž bez exponentu. Vynásobíme tedy:
$$ 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120 $$
A můžeme zapsat výsledek:
$$ n(24, 60) = 120 $$
Nalezení nejmenšího společného násobku zpaměti
Pro relativně malá čísla, jako 24 a 60, najdeme nejmenší společný násobek i zpaměti. Musíme si pouze položit otázku: „Jaké je nejmenší číslo, které můžeme vydělit všemi našimi čísly, pro něž nejmenší společný násobek hledáme?“
Opět si všimněte rozdílu mezi obdobnou otázkou, kterou jsme uváděli u největšího společného dělitele, kde jsme napsali kurzivou slovo „kterým“, zatímco zde máme slovo „které“. V tom je totiž onen zásadní rozdíl – u největšího společného dělitele se ptáme na číslo, kterým můžeme zadaná čísla beze zbytku vydělit, zatímco u nejmenšího společného násobku se ptáme na číslo, které můžeme beze zbytku vydělit zadanými čísly.
Hledáme-li nejmenší společný násobek zpaměti, často stačí otestovat, zda nejmenší společný násobek náhodou už není to největší číslo z těch, pro které ho hledáme. Například pro čísla 30 a 15 je nejmenší společný násobek právě číslo 30.
Pokud zjistíme, že to nestačí, tak můžeme postupně zkoušet násobky toho největšího čísla. Například pro čísla 24 a 60 se můžeme zeptat, zda tímto násobkem není už samotné číslo 60 a jakmile zjistíme, že není, tak zkusíme jeho dvojnásobek – tedy číslo 120 – a v tomto případě to bude stačit.
Nejmenší společný násobek používáme například při hledání společného jmenovatele v případě sčítání zlomků. Když totiž hledáme společný jmenovatel dvou nebo více zlomků, hledáme právě nejmenší společný násobek pro čísla, která tvoří jednotlivé jmenovatele všech zlomků, jež chceme sečíst.
Závěr
V tomto článku jsme si vysvětlili, co je to největší společný dělitel a nejmenší společný násobek, a ukázali si metody, jak taková čísla najít. Tím jsme zakončili naši minisérii Elementární teorie čísel.