V minulém článku jsme se věnovali lineárním rovnicím s desetinnými čísly. Všechny rovnice, které jsme v předchozích článcích řešili, měly právě jedno řešení, což ale nemusí platit vždycky.
Při řešení lineární rovnice může nastat jeden ze tří následujících
případů:
- Rovnice má právě jedno řešení.
- Rovnice nemá žádné řešení.
- Rovnice má nekonečně mnoho řešení.
Dnes se podíváme na rovnice, které buď nemají žádné řešení, nebo naopak mají nekonečně mnoho řešení. Ukážeme si to na dvou příkladech.
Příklad 1
Řešte rovnici:
\[ \frac{x \; – \; 3}{4} \; – \; \frac{x \; – \; 7}{5} = \frac{x + 5}{20} \]
Řešení
Rovnici budeme řešit stejným postupem, jako jsme se to naučili v předchozích článcích.
Krok 1:
Zbavíme se zlomků vynásobením obou stran rovnice nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů, které v rovnici máme, tj. číslem 20:
\begin{align*} \frac{x \; – \; 3}{4} \; – \; \frac{x \; – \; 7}{5} &= \frac{x + 5}{20} \qquad | \cdot 20 \\ 5(x \; – \; 3) \; – \; 4(x \; – \; 7) &= x + 5 \end{align*}
Krok 2:
Roznásobíme závorky:
\begin{align*} 5(x \; – \; 3) \; – \; 4(x \; – \; 7) &= x + 5 \\ 5x \; – \; 15 \; – \; 4x + 28 &= x + 5 \end{align*}
Krok 3:
Sečteme na každé straně zvlášť členy obsahující neznámou x a zvlášť čísla:
\begin{align*} 5x \; – \; 15 \; – \; 4x + 28 &= x + 5 \\ x + 13 &= x + 5 \end{align*}
Krok 4:
Odečteme z obou stran rovnice jedno x, abychom ho převedli z pravé strany na levou a zároveň od obou stran rovnice odečteme číslo 13, abychom ho převedli z levé strany na pravou a měli tak rovnici v separovaném tvaru, kdy na jedné straně budou pouze členy s neznámou x, a na druhé straně pouze čísla. Potom členy na jednotlivých stranách rovnice sečteme:
\begin{align*} x + 13 &= x + 5 \qquad |-x \; – \; 13\\ x \; – \; x &= 5 \; – \; 13 \\ 0 &\neq -8 \end{align*}
A ejhle! Členy s neznámou x se nám na levé straně odečetly na nuly a tím pádem z celé rovnice úplně zmizely!
Když během řešení rovnice členy s neznámou z rovnice zmizí, je to právě jeden z těch případů, kdy rovnice buď nemá žádné řešení nebo má nekonečně mnoho řešení.
Jak rozhodneme, zda se jedná o první nebo druhý případ? Poznáme to podle toho, zda nám v rovnici zbyla neplatná nebo platná rovnost, tzn. zda čísla na levé a pravé straně rovnice jsou různá nebo jsou stejná.
V našem případě nám zbylo na levé straně rovnice číslo 0 a na pravé straně číslo -8. Tyto čísla se sobě nerovnají, protože nejsou stejná, což znamená, že naše rovnice nemá žádné řešení.
Množina řešení neboli kořenů rovnice se zpravidla značí určitým velkým písmenem, nejčastěji K. Pokud rovnice nemá řešení, můžeme zapsat:
$$ K = \emptyset $$
kde $ \emptyset $ je symbol pro prázdnou množinu. Tímto zápisem tedy říkáme, že množina řešení (kořenů) rovnice je prázdná množina, což je totéž, jako když řekneme, že rovnice nemá žádné řešení.
Příklad 2
Řešte rovnici:
\[ \frac{x \; – \; 6}{4} \; – \; \frac{x \; – \; 7}{6} = \frac{x \; – \; 4}{12} \]
Řešení
Rovnici opět budeme řešit obvyklým způsobem. Protože jednotlivé kroky jsme si už v tomto a předchozích článcích mnohokrát podrobně probrali, uvedeme zde celý postup souhrnně bez komentářů:
\begin{align*} \frac{x \; – \; 6}{4} \; – \; \frac{x \; – \; 7}{6} &= \frac{x \; – \; 4}{12} \qquad | \cdot 12 \\ 3(x \; – \; 6) \; – \; 2(x \; – \; 7) &= x \; – \; 4 \\ 3x \; – \; 18 \; – \; 2x + 14 &= x \; – \; 4 \\ x \; – \; 4 &= x \; – \; 4 \qquad |-x + 4 \\ x \; – \; x &= -4 + 4 \\ 0 &= 0 \end{align*}
Neznámá x nám z rovnice opět zmizela, ale tentokrát jsme na konci získali platnou rovnost, tj. číslo na levé straně rovnice se rovná číslu na straně pravé, protože tato čísla jsou stejná. To znamená, že rovnice má nekonečně mnoho řešení, nebo přesněji, že řešením rovnice je libovolné reálné číslo. Kdybychom si udělali zkoušku, mohli bychom do ní za neznámou x dosadit jakékoli číslo, které nás jenom napadne, a vždy by nám vyšlo, že se levá strana rovná straně pravé.
Můžeme zapsat, že množina řešení (kořenů) rovnice je rovna množině všech reálných čísel, např. takto:
$$ K = R $$
Aby rovnice měla nekonečně mnoho řešení, nemusí nám vyjít zrovna $ 0 = 0 $, ale obecně jakákoli rovnost, např. $ 4 = 4 $, $ 17 = 17 $, $ -8 = -8 $ a podobně. Důležité je, že čísla na obou stranách rovnice jsou stejná.
Závěr
V tomto článku jsme si ukázali případy řešení lineární rovnice, kdy tato rovnice nemá žádné řešení nebo má naopak nekonečně mnoho řešení. Tyto situace nastávají tehdy, když nám během úprav rovnice z ní neznámá úplně zmizí.
Potom záleží na tom, zda nám vyšla platná nebo neplatná nerovnost, přičemž v případě neplatné nerovnosti rovnice nemá žádné řešení, zatímco v případě platné nerovnosti má rovnice nekonečně mnoho řešení.
V následujícím článku se podíváme na lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli.