V předchozím článku jsme se zabývali rovnicemi se zlomky.
V tomto článku se podíváme na rovnice s desetinnými čísly. Pokud máme v rovnici desetinná čísla, můžeme se jich zbavit podobně, jako se zbavujeme zlomků. Ukážeme si to na následujících příkladech. Také už v tomto článku nebudeme dělat zkoušku, protože ta se provádí se u všech rovnic stejně a podrobně jsme ji probrali v předchozích článcích.
Příklad 1
Řešte rovnici:
\[ 0{,}3 \cdot 2 \; – \; 0{,}5x \cdot 2 + 0{,}4x = x + 3{,}8 \]
Řešení
Krok 1:
Nejjednodušší způsob, jak se zbavit z rovnice desetinných čísel, pokud v ní máme čísla obsahující pouze jedno desetinné místo, je vynásobit obě strany rovnice deseti. Pokud bychom v rovnici měli čísla se dvěma desetinnými místy, vynásobily bychom obě strany rovnice stem.
V našem případě to způsobí, že se ze všech desetinných čísel stanou čísla celá. Nesmíme zapomenout vynásobit deseti všechny členy, tedy i takové, které desetinná čísla neobsahují:
\begin{align*} 0{,}3 \cdot 2 \; – \; 0{,}5x \cdot 2 + 0{,}4x &= x + 3{,}8 \qquad | \cdot 10 \\ 3 \cdot 2 \; – \; 5x \cdot 2 + 4x &= 10 x + 38 \end{align*}
Všimněte si, že v prvním členu na levé straně rovnice $ 0{,}3 \cdot 2 $ jsme vynásobili deseti číslo 0,3, z čehož vzniklo číslo 3, ale už jsme nenásobili číslo 2, protože to je svázáno s číslem 0,3 znaménkem „krát“, což znamená právě to, že obě čísla dohromady tvoří právě jeden člen. A při násobení rovnice vynásobíme každý jeden člen jen jednou. Kdybychom vynásobili ještě číslo 2, tak bychom tento člen vynásobili deseti dvakrát, a to by bylo špatně.
Ze stejného důvodu jsme v členu $ 0{,}5x \cdot 2 $ vynásobili deseti pouze číslo 0,5, ale už ne číslo 2, protože to je rovněž svázáno s ostatními činiteli tohoto členu znaménkem „krát“, takže je součástí tohoto jednoho členu.
Krok 2:
V rovnici nemáme žádné závorky, ale můžeme spolu vynásobit některé činitele v rámci jednotlivých členů:
\begin{align*} 3 \cdot 2 \; – \; 5x \cdot 2 + 4x &= 10 x + 38 \\ 6 \; – \; 10 x + 4x &= 10x + 38 \end{align*}
Na každé straně rovnice sečteme zvlášť členy s neznámou x a zvlášť čísla:
\begin{align*}
6 \; – \; 10 x + 4x &= 10x + 38 \\
6 \; – \; 6x &= 10x + 38
\end{align*}
Krok 4:
K rovnici přičteme $ 6x $, abychom se zbavili neznámých x z levé strany rovnice a převedli je na stranu pravou. Zároveň odečteme číslo 38, abychom se ho zbavili z pravé strany rovnice a převedli ho na stranu levou. Tím získáme rovnici v separovaném tvaru, kdy na jedné straně budeme mít pouze členy s neznámou x a na druhé straně pouze čísla. Potom tyto členy s neznámou x sečteme stejně jako čísla:
\begin{align*} 6 \; – \; 6x &= 10x + 38 \qquad |+ 6x \; – \; 38 \\ 6 \; – \; 38 &= 10x + 6x \\ -32 &= 16x \end{align*}
Krok 5:
Obě strany rovnice vydělíme takovým číslem, kolik máme v příslušném členu neznámých x, v našem případě tedy číslem 16, a získáme řešení:
\begin{align*}
-32 &= 16x \qquad |:16 \\
-2 &= x \\
x &= -2
\end{align*}
Příklad 2
Řešte rovnici:
\[ \frac{2 \; – \; x}{2} + 2x = 2{,}5x \; – \; 3 \]
Řešení
I zde bychom mohli obě strany rovnice vynásobit deseti, ale když se na rovnici pozorně podíváte a trochu se nad ní zamyslíte, zjistíte, že není třeba ji násobit až tak vysokým číslem. Máme v ní jedno desetinné číslo 2,5, které když vynásobíme dvěma, stane se z něj číslo celé.
Zároveň máme v rovnici zlomek se jmenovatelem 2, kterého se rovněž zbavíme tak, že ho vynásobíme dvěma. Proto bude stačit vynásobit obě strany rovnice číslem 2:
\begin{align*} \frac{2 \; – \; x}{2} + 2x &= 2{,}5x \; – \; 3 \qquad | \cdot 2 \\ 2 \; – \; x + 4x &= 5x \; – \; 6 \end{align*}
Další postup řešení rovnice bude stejný jako u všech předchozích příkladů v tomto i předchozích článcích, proto ho uvedeme souhrnně bez komentářů:
\begin{align*} 2 \; – \; x + 4x &= 5x \; – \; 6 \\ 2 + 3x &= 5x \; – \; 6 \qquad |-3x + 6 \\ 2 + 6 &= 5x \; – \; 3x \\ 8 &= 2x \qquad |:2 \\ 4 &= x \\ x &= 4 \end{align*}
Příklad 3
Řešte rovnici:
\[ 2 + 0{,}5 \cdot (y \; – \; 3) = 0{,}4 \cdot (1{,}5y + 2) \]
Řešení:
Obě strany rovnice vynásobíme deseti:
\begin{align*} 2 + 0{,}5 \cdot (y \; – \; 3) &= 0{,}4 \cdot (1{,}5y + 2) \qquad | \cdot 10 \\ 20 + 5 \cdot (y \; – \; 3) &= 4 \cdot (1{,}5y + 2) \end{align*}
U členů se závorkami jsme vynásobili deseti pouze čísla před těmito závorkami, protože tato čísla a závorky jsou spolu svázány znaménkem „krát“, což znamená, že z pohledu celé rovnice dané číslo spolu se závorkou tvoří právě jeden člen, a my při násobení celé rovnice musíme vynásobit každý jeden člen.
V rovnici stále máme desetinné číslo uvnitř závorky, ale to v tomto případě nepředstavuje problém, protože jakmile tuto závorku roznásobíme, z tohoto desetinného čísla se stane číslo celé. Kdyby nám v rovnici zbyla nějaká desetinná čísla i po roznásobení závorek, mohli bychom ji vynásobit vhodným číslem ještě jednou.
Roznásobíme tedy závorky a rovnici dopočítáme obvyklým způsobem:
\begin{align*} 20 + 5 \cdot (y \; – \; 3) &= 4 \cdot (1{,}5y + 2) \\ 20 + 5y \; – \; 15 &= 6y + 8 \\ 5 + 5y &= 6y + 8 \qquad |-5y \; – \; 8 \\ 5 \; – \ 8 &= 6y \; – \; 5y \\ -3 &= y \\ y &= -3 \end{align*}
Závěr
V tomto článku jsme si probrali rovnice s desetinnými čísly. Pokud jste si prostudovali celou sérii až sem, máte pevné základy k tomu, abyste vyřešili libovolnou lineární rovnici.
Ještě se ale musíme podívat na dva speciální případy, kdy rovnice buď nemá žádné řešení nebo má naopak nekonečně mnoho řešení. A právě tomu bude věnován následující článek.