Lineární rovnice – 2. část: Rovnice se zlomky

V předchozím článku jsme si ukázali 5 základních kroků, jak vyřešit každou lineární rovnici. Tyto kroky jsou následující:

1. Pokud máme v rovnici zlomky, tak se jich zbavíme vynásobením obou stran rovnice nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů, které v rovnici máme.
2. Pokud máme v rovnici závorky, též se jich zbavíme – nejčastěji jejich roznásobením.
3. Na každé straně rovnice spolu sečteme zvlášť počty neznámých a zvlášť čísla.
4. Uděláme takové ekvivalentní úpravy, abychom na jedné straně rovnice měli pouze členy s neznámou, na druhé straně rovnice pouze čísla, a tyto členy sečteme.
5. Vydělíme rovnici takovým číslem, kolik neznámých máme v příslušném členu.

Doposud jsme pracovali pouze s rovnicemi obsahujícími závorky, ale ne zlomky. Pokud máme v rovnici zlomky, můžeme se jich zbavit. Sice existují i jiné postupy řešení rovnice, kdy si zlomky v rovnici ponecháme a pracujeme s nimi, ale my si ukážeme více „klasickou“ cestu, kdy zlomky z rovnice odstraníme.

Příklad 1

Řešte rovnici a proveďte zkoušku:

\[ 3x \; – \; \frac{2}{3}(7x \; – \; 2) = \frac{5}{6} \; – \; 2x \]

Řešení

Krok 1:

Kdybychom neměli rovnici, ale jenom výraz, museli bychom v něm se zlomky pracovat (sčítat je, odčítat, násobit apod.) S rovnicí ale můžeme provádět ekvivalentní úpravy. Proto se můžeme vhodně zvolenou úpravou zlomků z rovnice zcela zbavit! Uděláme to tak, že najdeme nejmenší společný násobek všech jmenovatelů, které v rovnici máme, a obě strany rovnice jím vynásobíme.

Nejmenší společný násobek je takové nejmenší číslo, které můžeme beze zbytku vydělit všemi čísly, jejichž nejmenší společný násobek hledáme. Je to například to číslo, které hledáme, když chceme určit společný jmenovatel při sčítání a odčítání zlomků.

V naší rovnici máme dva zlomky: jmenovatel prvního je 3 a jmenovatel druhého je 6. Nejmenší společný násobek těchto dvou čísel, tedy takové nejmenší číslo, které lze beze zbytku vydělit číslem 3 i číslem 6, je číslo 6. Proto obě strany rovnice vynásobíme šesti. Nejdříve si předvedeme, co se stane, a potom si ukážeme, jak celý proces udělat kratší a rychlejší.

\begin{align*} 3x \; – \; \frac{2}{3}(7x \; – \; 2) &= \frac{5}{6} \; – \; 2x \qquad | \cdot 6 \\ 6 \bigg[3x \; – \; \frac{2}{3}(7x \; – \; 2)\bigg] &= 6 \bigg[\frac{5}{6} \; – \; 2x \bigg] \\ 6 \cdot 3x \; – \; 6 \cdot \frac{2}{3}(7x \; – \; 2) &= 6 \cdot \frac{5}{6} \; – \; 6 \cdot 2x \\ 18x \; – \; 4(7x \; – \; 2) &= 5 \; – \; 12x \end{align*}

Nejprve jsme vynásobili obě strany rovnice šesti tak, že jsme tyto strany uzavřeli do hranatých závorek, a před každou z nich jsme napsali číslo 6. Potom jsme se hranatých závorek zbavili tím, že jsme každý člen uvnitř nich tímto číslem roznásobili. (Členy jsou ty části výrazu, které jsou od sebe oddělené znaménky plus nebo minus.)

Při násobení se nám s touto šestkou vykrátil zlomek $ \frac{2}{3} $ před závorkou $ (7x \; – \; 2 ) $ na $ 2 \cdot \frac{2}{1} $, z čehož vzniklo číslo 4, a také se vykrátil zlomek $ \frac{5}{6} $ na pravé straně rovnice na $ 1 \cdot \frac{5}{1} $, z čehož vzniklo čílo 5. Výsledkem je, že zlomky nám z rovnice úplně zmizely!

Tento postup jsme si ukázali proto, abychom viděli, jak odstraňování zlomků funguje „pod kapotou“: Když totiž vynásobíme obě strany rovnice nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů, vede to k tomu, že se všechny zlomky vykrátí na celá čísla.

Ukážeme si to na naší původní rovnici:

\[ 3x \; – \; \frac{2}{3}(7x \; – \; 2) = \frac{5}{6} \; – \; 2x \qquad | \cdot 6 \\ \]

1. První člen na levé straně rovnice je $ 3x $, který neobsahuje zlomek, proto ho vynásobíme šesti na $ 18 x $.
2. Druhý člen na levé straně rovnice tvoří výraz $ \frac{2}{3}(7x \; – \; 2) $, který obsahuje zlomek $ \frac{2}{3} $. Číslo 6, kterým rovnici násobíme, vydělíme jmenovatelem tohoto zlomku, tzn. číslem 3, a získáme mezivýsledek 2, který vynásobíme čitatelem stejného zlomku, tj. číslem 2. Výsledek je číslo 4, které napíšeme před závorku.
3. První člen na pravé straně rovnice je zlomek $ \frac{5}{6} $. Číslo 6, kterým násobíme rovnici, vydělíme jeho jmenovatelem, tzn. číslem 6, a získáme mezivýsledek 1, který vynásobíme čitatelem zlomku, tj. číslem 5. Výsledek je číslo 5, které zapíšeme.
4. Druhý člen na pravé straně rovnice je $ 2x $, který neobsahuje zlomek, proto ho vynásobíme šesti na $ 12x $

Protože při zbavování se zlomků násobíme rovnici zpravidla kladným číslem, všechna znaménka mezi členy zůstanou stejná. Obdržíme výsledek, který bude stejný jako v ukázce výše:

\begin{align*} 3x \; – \; \frac{2}{3}(7x \; – \; 2) &= \frac{5}{6} \; – \; 2x \qquad | \cdot 6 \\ 18x \; – \; 4(7x \; – \; 2) &= 5 \; – \; 12x \end{align*}

ale získali jsme ho úpravami na jednom řádku místo řádků tří!

Také si všimněte, že jsme u členu $ \frac{2}{3}(7x \; – \; 2) $ vynásobili (a tím odstranili) pouze zlomek $ \frac{2}{3} $, ale výraz v závorce jsme ponechali stejný. Je to proto, že zlomek je se závorkou svázaný znaménkem „krát“ (byť tam operátor „krát“ nemusí být napsaný), a i když se závorka skládá ze dvou členů, z pohledu celé rovnice tvoří spolu se zlomkem jediný člen.

Jinými slovy, závorka $ (7x \; – \; 2) $ už je násobená zlomkem před ní, tedy dvěma třetinami, takže když tento celý výraz dále násobíme šesti, vynásobíme šesti pouze tento zlomek.

Další postup řešení rovnice bude stejný, jako u rovnic z předchozího článku.

Krok 2:

Zbavíme se závorek. Aktuálně máme v rovnici pouze jednu závorku, kterou je potřeba roznásobit číslem -4:

\begin{align*}
18x \; – \; 4(7x \; – \; 2) &= 5 \; – \; 12x \\
18x \; – \; 28x + 8 &= 5 \; – \; 12x
\end{align*}

Krok 3:

Na každé straně rovnice sečteme zvlášť počty neznámých a zvlášť čísla. Nám zbývá pouze na levé straně sečíst $ 18x $ a $ -28x $, což je dohromady $ -10x $:

$$ -10x + 8 = 5 \; – \; 12x $$

Krok 4:

Převedeme si například $ -12x $ z pravé strany rovnice na levou přičtením členu $ 12x $ k oběma stranám rovnice, a číslo 8 si naopak převedeme z levé strany na pravou odečtením čísla 8 od obou stran rovnice. Potom si spolu x-ka na jedné straně a čísla na druhé straně rovnice sečteme:

\begin{align*} -10x + 8 &= 5 \; – \; 12x \qquad |+12x \; – \; 8 \\ -10x + 12x &= 5 \; – \; 8 \\ 2x &= -3 \end{align*}

Krok 5:

Vydělíme rovnici počtem neznámých x, tj. dvěma, a získáme řešení:

\begin{align*}
2x &= -3 \qquad |:2 \\
x &= -\frac{3}{2}
\end{align*}

Zkouška:

Zkoušku provedeme také stejným způsobem, jako jsme to dělali v předchozím článku: Vezmeme si zvlášť výraz, který tvoří levou stranu původní rovnice, dosadíme do něj za x řešení a spočítáme výsledek. Potom to samé uděláme s výrazem, který tvoří pravou stranu původní rovnice. Pokud dostaneme stejný výsledek, jako u strany levé, znamená to, že jsme během řešení rovnice neudělali chybu:

\begin{align*} L\bigg({-}\frac{3}{2}\bigg) &= 3x \; – \; \frac{2}{3}(7x \; – \; 2) = \\ &= 3 \cdot \bigg({-}\frac{3}{2}\bigg) \; – \; \frac{2}{3} \cdot \bigg[7 \cdot \bigg({-}\frac{3}{2}\bigg) \; – \; 2\bigg] = \\ &= -\frac{9}{2} \; – \; \frac{2}{3} \cdot \bigg[{-}\frac{21}{2} \; – \; 2\bigg] = \\ &= -\frac{9}{2} \; – \; \frac{2}{3} \cdot \bigg({-}\frac{25}{2}\bigg) = -\frac{9}{2} + \frac{25}{3} = \\ &= -\frac{27}{6} + \frac{50}{6} = \frac{23}{6} \\ \\ P\bigg({-}\frac{3}{2}\bigg) &= \frac{5}{6} \; – \; 2x = \frac{5}{6} \; – \; 2 \cdot \bigg({-}\frac{3}{2}\bigg) = \\ &= \frac{5}{6} + 3 = \frac{5}{6} + \frac{18}{6} = \frac{23}{6} \end{align*}

$$ L\bigg({-}\frac{3}{2}\bigg) = P\bigg({-}\frac{3}{2}\bigg) $$

Příklad 2

Řešte rovnici a proveďte zkoušku:

$$ \frac{7}{10}y \; – \; \frac{1}{4}y = \frac{1}{3}y + \frac{7}{2} $$

Řešení

Krok 1:

Odstraníme všechny zlomky vynásobením obou stran rovnice nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů, které v rovnici máme. Musíme tedy najít nejmenší společný násobek čísel 10, 4, 3 a 2, tzn. takové nejmenší číslo, které lze každým z uvedených čísel beze zbytku vydělit.

Pokud hledáme nejmenší společný násobek zpaměti, můžeme zkusit, zda by nestačilo největší z daných čísel, a pokud ne, můžeme zkoušet jeho násobky: Číslo 10 je beze zbytku dělitelné pouze číslem 2 a sebou samým, ale ne čísly 4 a 3, takže zkusíme třeba jeho dvojnásobek, číslo 20. To je dělitelné čísly 2, 4 i 10, ale stále ne číslem 3. Trojnásobek čísla 10, tedy číslo 30 je dělitelné čísly 2, 3 a 10, ale zase ne čtyřkou.

Když takto budeme pokračovat, zjistíme, že dělitelné všemi čísly 2, 3, 4 a 10 je až číslo 60. Vynásobíme tudíž obě strany naší rovnice číslem 60:

\[ \frac{7}{10}y \; – \; \frac{1}{4}y = \frac{1}{3}y + \frac{7}{2} \qquad | \cdot 60 \\ \]

Uděláme to rovnou tím kratším způsobem, který jsme si podrobně popsali u předchozího příkladu.

První člen na levé straně rovnice $ \frac{7}{10}y $ obsahuje zlomek. Vydělíme číslo 60, kterým rovnici násobíme, jeho jmenovatelem – číslem 10, a dostaneme číslo 6, které vynásobíme čitatelem tohoto zlomku – číslem 7, a získáme výsledek 42. Zapíšeme tedy $ 42y $.

Přejdeme na další člen, který rovněž obsahuje zlomek. Opět vydělíme číslo 60, kterým násobíme rovnici, jeho jmenovatelem – číslem 4 a dostaneme číslo 15, které vynásobíme čitatelem tohoto zlomku – číslem 1, a získáme výsledek 15. Zapíšeme tedy $-15y $ (protože rovnici násobíme kladným číslem, znaménka před všemi členy zůstanou stejná), a tím je levá strana rovnice zpracovaná.

Úplně stejným způsobem zpracujeme pravou stranu rovnice. První člen na pravé straně obsahuje zlomek, takže číslo 60 vydělíme jeho jmenovatelem – číslem 3, a dostaneme číslo 20, které vynásobíme čitatelem – číslem 1, a získáme výsledek 20. Zapíšeme $ 20y $.

Přejdeme na další člen, který je tvořen zlomkem. Vydělíme číslo 60 jeho jmenovatelem – číslem 2, a dostaneme číslo 30, které vynásobíme čitatelem – číslem 7, a získáme výsledek 210. Zapíšeme $ + 210 $.

Celý proces bude vypadat následovně:

\begin{align*} \frac{7}{10}y \; – \; \frac{1}{4}y &= \frac{1}{3}y + \frac{7}{2} \qquad | \cdot 60 \\ 42y \; – \; 15y &= 20y + 210 \end{align*}

Stručně bychom ho mohli popsat takto:

• 60 děleno 10 je 6, 6 krát 7 je 42.
• 60 děleno 4 je 15, 15 krát 1 je 15.
• 60 děleno 3 je 20, 20 krát 1 je 20.
• 60 děleno 2 je 30, 30 krát 7 je 210.

Krok 2:

V rovnici nemáme žádné závorky, takže nemusíme nic roznásobovat.

Krok 3:

Na levé straně rovnice můžeme sečíst členy obsahující neznámou y, tedy $ 42y $ a $-15y $. Dostaneme:

\begin{align*}
42y \; – \; 15y &= 20y + 210 \\
27y &= 20y + 210
\end{align*}

Krok 4:

Odečteme od obou stran rovnice $ 20y $, abychom měli členy s neznámou y na jedné straně rovnice a číslo na druhé. Potom počty neznámých y na levé straně rovnice sečteme:

\begin{align*} 27y &= 20y + 210 \qquad |-20y \\ 27y \; – \; 20y &= 210 \\ 7y &= 210 \end{align*}

Krok 5:

Vydělíme rovnici takovým číslem, kolik neznámých y příslušný člen obsahuje, tzn. sedmi, a získáme řešení:

\begin{align*}
7y &= 210 \qquad |:7 \\
y &= 30
\end{align*}

Zkouška:

Zkoušku provedeme dosazením řešení rovnice zvlášť do výrazu, který tvoří její levou stranu a zvlášť do výrazu, který tvojí její pravou stranu, a ověříme, zda nám vyjdou stejné výsledky:

\begin{align*} L(30) &= \frac{7}{10}y \; – \; \frac{1}{4}y = \\ &= \frac{7}{10} \cdot 30 \; – \; \frac{1}{4} \cdot 30 = \\ &= 7 \cdot 3 \; – \; \frac{1}{2} \cdot 15 = \\ &= 21 \; – \; 7{,}5 = 13{,}5 \\ \\ P(30) &= \frac{1}{3}y + \frac{7}{2} = \\ &= \frac{1}{3} \cdot{30} + \frac{7}{2} = \\ &= 10 + 3{,}5 = 13{,}5 \end{align*}

Hodnoty obou výrazů nám vyšly stejně, což znamená, že jsme během řešení rovnice neudělali chybu. Můžeme tedy zapsat:

$$ L(30) = P(30) $$

Příklad 3

Řešte rovnici a proveďte zkoušku:

$$ \frac{t \; – \; 4}{8} \; – \; \frac{t + 5}{10} = -1 $$

Řešení

Krok 1:

Obě strany rovnice vynásobíme nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů, které v rovnici máme. Musíme tedy najít nejmenší společný násobek čísel 8 a 10, což je číslo 40, a obě strany rovnice jím vynásobit:

\[ \frac{t \; – \; 4}{8} \; – \; \frac{t + 5}{10} = -1 \qquad | \cdot 40 \\ \]

První člen je tvořen zlomkem. Vydělíme číslo 40 jeho jmenovatelem – číslem 8, a dostaneme číslo 5, které vynásobíme čitatelem tohoto zlomku, což je výraz $ x \; – \; 4 $. Mohli bychom tento výraz číslem 5 rovnou roznásobit, ale budeme postupovat pozvolněji, takže výraz z čitatele zlomku dáme do závorky, před kterou napíšeme číslo 5, a roznásobení si necháme do dalšího kroku.

S druhým členem, který je také tvořen zlomkem, to uděláme stejně. Číslo 40 vydělíme jeho jmenovatelem, tedy číslem 10, a dostaneme číslo 4, které napíšeme před závorku obsahující výraz v čitateli tohoto zlomku. Samozřejmě mezi výrazy ponecháme znaménko minus.

Na pravé straně rovnice máme jediný člen – číslo -1. Protože to není zlomek, jednoduše ho vynásobíme číslem 40 a dostaneme výsledek -40.

Náš 1. krok tedy bude vypadat následovně:

\begin{align*} \frac{t \; – \; 4}{8} \; – \; \frac{t + 5}{10} &= -1 \qquad | \cdot 40 \\ 5(t \; – \; 4) \; – \; 4(t + 5) &= -40 \end{align*}

Krok 2:

Závorek se zbavíme jejich roznásobením. Opět si musíme dát pozor na znaménka – na levé straně budeme druhou závorku násobit číslem -4, což nám u členů tvořících vnitřek závorky otočí znaménka na opačná:

\begin{align*} 5(t \; – \; 4) \; – \; 4(t + 5) &= -40 \\ 5t \; – \; 20 \; – \; 4t \; – \; 20 &= -40 \end{align*}

Kroky 3 až 5:

Jednotlivé zbývající kroky už jsme v tomto i předchozím článku několikrát podrobně rozebírali, takže teď si ukážeme celý zbývající postup souhrnně:

\begin{align*} 5t \; – \; 20 \; – \; 4t \; – \; 20 &= -40 \\ t \; – \; 40 &= -40 \qquad |+40 \\ t &= 0 \end{align*}

Řešením rovnice je tedy číslo 0. To je naprosto legitimní výsledek a neznamená to, že by rovnice neměla řešení (těmito speciálními případy, kdy rovnice nemá žádné řešení nebo má naopak nekonečně mnoho řešení, se budeme zabývat v některém z příštích článků).

Zkouška:

\begin{align*} L(0) &= \frac{t \; – \; 4}{8} \; – \; \frac{t + 5}{10} \\ &= \frac{0 \; – \; 4}{8} \; – \; \frac{0 + 5}{10} = \\ &= -\frac{4}{8} \; – \; \frac{5}{10} = -\frac{1}{2} \; – \; \frac{1}{2} = \\ &= -\frac{2}{2} = -1 \\ \\ P(0) &= -1 \end{align*}

$$ L(0) = P(0) $$

Závěr

V tomto článku jsme si podrobně ukázali, jak se můžeme zbavit zlomků z rovnice.

V následujícím článku se budeme věnovat rovnicím s desetinnými čísly.