Lineární rovnice – 1. část: Jak vyřešit lineární rovnici v pěti krocích

V předchozím článku jsme si vysvětlili, co to vlastně rovnice je, jak se řeší a jak se dělá zkouška. Také jsme si řekli, že lineární rovnice řešíme pomocí tzv. ekvivalentních úprav.

V tomto článku si spočítáme pár příkladů na jednoduché lineární rovnice, ale ještě předtím si řekneme, jak je lineární rovnice definována.

Definice lineární rovnice

Tato definice znamená, že každou lineární rovnici je možné na tento tvar převést. Pokud by tento převod nebyl možný, mohlo by se jednat o jiný druh rovnice, například rovnici kvadratickou, jejíž obecný tvar je $ ax^2 + bx + c = 0 $ – máme zde tedy navíc kvadratický člen obsahující $ x^2 $, který se v žádné lineární rovnici nevyskytuje.

Postup řešení lineární rovnice

V tomto článku se omezíme pouze na rovnice se závorkami. Jak se zbavit zlomků z rovnice si popíšeme v příštím článku.

Příklad 1

Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku:

\[ 3(x \; – \; 4) \; – \; 6(2x \; – \; 3) = 27 \; – \; 2x \]

Řešení

Krok 1:

V této rovnici zlomky nemáme.

Krok 2:

V rovnici máme závorky, kterých se zbavíme tak, že každou z nich roznásobíme číslem, které je před ní. Musíme si dávat pozor na znaménka – například před druhou závorkou na levé straně rovnice máme číslo -6, což nám při roznásobování otočí znaménka před jednotlivými členy na opačná. Před první závorkou je číslo 3 bez znaménka, což je stejné, jako by tam bylo číslo +3, takže při jejím roznásobování zůstanou znaménka stejná:

\begin{align*} 3(x \; – \; 4) \; – \; 6(2x \; – \; 3) &= 27 \; – \; 2x \\ 3x \; – \; 12 \; – \; 12x + 18 &= 27 \; – \; 2x \end{align*}

Krok 3:

Nyní v rovnici nemáme ani zlomky ani závorky, takže spolu sečteme zvlášť počty neznámých a zvlášť čísla na každé straně rovnice (píšu „sečteme“, ale samozřejmě, že pokud bude před daným členem znaménko minus, tak budeme odčítat).

Pokud jde o počty neznámých, na levé straně rovnice máme $ 3x $ a $ -12x $ (nezapomeňte, že ke každému členu patří to znaménko, které je před ním), což je dohromady $ -9x $. Čísla na levé straně rovnice máme $ -12 $ a $ {+}18 $, což je dohromady $ {+}6 $. Na pravé straně máme jen jeden člen obsahující neznámou a jediné číslo, takže zde není co sčítat. Naše rovnice před a po úpravě bude vypadat následovně:

\begin{align*} 3x \; – \; 12 \; – \; 12x + 18 &= 27 \; – \; 2x \\ -9x + 6 &= 27 \; – \; 2x \end{align*}

Krok 4:

Dosud jsme s rovnicí neprovedli žádnou ekvivalentní úpravu. Ty potřebujeme provést až teď, abychom dosáhli toho, že na jedné straně rovnice budeme mít pouze členy obsahující neznámou x a na druhé straně rovnice pouze čísla.

Můžeme začít tím, že od obou stran rovnice odečteme číslo 6. Tím se číslo 6 na levé straně rovnice odečte na nulu a z této strany zmizí. Na pravé straně se naopak objeví se znaménkem minus (protože ho odčítáme). Této úpravě se někdy říká, že si převedeme číslo z jedné strany rovnice na stranu druhou. Celý proces bude vypadat takto:

\begin{align*} -9x + 6 &= 27 \; – \; 2x \qquad |- \; 6 \\ -9x + 6 \; – \; 6 &= 27 \; – \; 6 \; – \; 2x \\ -9x &= 21 \; – \; 2x \end{align*}

Na levé straně rovnice máme pouze člen obsahující neznámou x a už žádné číslo. Teď ještě potřebujeme dosáhnout toho, aby na pravé straně rovnice naopak nebyl žádný člen s neznámou x, ale bylo tam pouze číslo.

Protože tam máme $ -2x $, tak právě $ 2x $ k oběma stranám rovnice přičteme. $ -2x + 2x $ dá dohromady nulu, a tím pádem nám x-ka z pravé strany rovnice zmizí. Na levé straně rovnice se naopak objeví jako $ + 2x $. Této úpravě se opět někdy říká, že si převedeme člen s neznámou z jedné strany rovnice na stranu druhou. Příslušný proces bude vypadat následovně:

\begin{align*} -9x &= 21 \; – \; 2x \qquad |+ 2x \\ -9x + 2x &= 21 \; – \; 2x + 2x \end{align*}

Členy s neznámou x na levé i pravé straně rovnice sečteme ($-9x + 2x = -7x$ a $-2x + 2x = 0 $). Zůstane nám:

$$ -7x = 21 $$

Nyní máme na jedné straně rovnice pouze člen s neznámou x a na pravé straně pouze číslo. Tomu se říká, že rovnice je v separovaném tvaru. Mohli bychom mít na levé straně více členů obsahující neznámou x a na pravé straně více čísel a stále bychom mohli říct, že rovnice je v separovaném tvaru, ale my jsme si je všechny už posčítali, takže máme na každé straně rovnice právě jeden člen.

Krok 5:

Už bývá pouze vydělit obě strany rovnice takovým číslem, kolik neznámých x na příslušné straně rovnice máme. Je jich tam -7, takže můžeme rovnici vydělit právě číslem -7:

\begin{align*}
-7x &= 21 \qquad |:(-7) \\
x &= -3
\end{align*}

Pokud se vám nelíbí, že jsme před vydělením rovnice měli před členem s neznámou x záporné číslo, můžete si nejdřív obě strany rovnice vynásobit číslem -1. To můžete ostatně udělat kdykoli – způsobí to, že se znaménka před všemi členy rovnice otočí na opačná. V našem případě se z členu $ -7x $ stane $ {+}7x $ neboli jenom $ 7x $ a z čísla 21 se stane číslo -21:

\begin{align*}
-7x &= 21 \qquad |\cdot(-1) \\
7x &= -21
\end{align*}

Teď můžeme rovnici vydělit číslem +7 neboli jenom 7:

\begin{align*}
7x &= -21 \qquad |:7 \\
x &= -3
\end{align*}

Řešení je samozřejmě stejné. Vynásobení rovnice číslem -1 však může někomu připadat o něco přehlednější a snadnější.

Zkouška:

Zkoušku provedeme tak, že se vrátíme k rovnici v zadání příkladu a dosadíme si do výrazu na její levé straně číslo, které nám vyšlo jako řešení, tedy -3, a spočítáme hodnotu tohoto výrazu. Potom provedeme stejný proces s výrazem na pravé straně. Pokud nám vyjde u obou výrazů stejná hodnota, znamená to, že jsme rovnici vyřešili správně:

\begin{align*} L(-3) &= 3(x \; – \; 4) \; – \; 6(2x \; – \; 3) =\\ &= 3 \cdot (-3 \; – \; 4) \; – \; 6 \cdot [2 \cdot (-3) \; – \; 3] = \\ &= 3 \cdot (-7) \; – \; 6(-6 \; – \; 3) = \\ &= -21 \; – \; 6 \cdot (-9) = \\ &= -21 + 54 = 33 \\ \\ P(-3) &= 27 \; – \; 2x = 27 \; – \; 2 \cdot (-3) = \\ &= 27 + 6 = 33 \end{align*}

Hodnota obou výrazů nám vyšla stejně, což znamená, že číslo -3 je skutečně řešením rovnice (tedy že jsme při výpočtu neudělali chybu). Můžeme proto napsat:

$$ L(-3) = P(-3) $$

A tím je zkouška hotová.

Příklad 2

Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku:

\[ 7 \; – \; [3 \; – \; (5  \; – \; y)] = 11 \; – \; 5y \]

Řešení

Krok 1:

V rovnici nemáme žádné zlomky.

Krok 2:

Zbavíme se závorek. Máme zde kulatou závorku uvnitř hranaté závorky. Pokud máme v nějakém výrazu vnořené závorky, tak se nejprve zbavíme té vnitřní, která v našem případě obsahuje výraz $ (5 \; – \; y) $. Před touto závorkou není žádné číslo, kterým bychom ji mohli roznásobit, pouze znaménko minus, které nám otočí znaménka na opačná (z čísla 5 se stane -5 a z výrazu –y se stane +y):

\[ 7 \; – \; [3 \; – \; 5  + y] = 11 \; – \; 5y \]

Teď teprve odstraníme vnější (hranatou) závorku, před kterou opět není žádné číslo, ale pouze znaménko minus, takže se nám znovu otočí znaménka na opačná:

\[ 7 \; – \; 3 + 5  \; – \; y = 11 \; – \; 5y \]

Krok 3:

Dále si na levé straně rovnice sečteme počty neznámých y a čísla, ale protože zde máme pouze jeden člen obsahující neznámou y, tak můžeme sečíst jen čísla (na pravé straně máme pouze jedno číslo a jeden člen obsahující neznámou y, takže zde není vůbec co sčítat):

$$ 9 \; – \; y = 11 \; – \; 5y $$

Krok 4:

Člen s neznámou y si převedeme na jednu stranu rovnice a číslo na druhou – například y-ka doleva a číslo doprava – abychom rovnici dostali do separovaného tvaru. Můžeme to udělat postupně tak, že si nejdřív k oběma stranám rovnice přičteme 5y a potom si od obou stran rovnice odečteme číslo 9:

\begin{align*} 9 \; – \; y &= 11 \; – \; 5y \qquad |+ 5y \\ 9 \; – \; y + 5y &= 11 \qquad |- \; 9 \\ -y + 5y &= 11 \; – \; 9 \end{align*}

Na levé straně sečteme počty neznámých y a na pravé straně čísla:

\begin{align*}
-y + 5y &= 11 \; – \; 9 \\
4y &= 2
\end{align*}

Krok 5:

Nakonec rovnici vydělíme takovým číslem, kolik máme na levé straně neznámých y, tzn. čtyřmi:

\begin{align*}
4y &= 2 \qquad |:4 \\
y &= \frac{1}{2}
\end{align*}

Pokud nám jako výsledek vyjde zlomek, který je v základním tvaru, není třeba ho převádět na desetinné číslo. Zlomek v základním tvaru je zvláště ve středoškolské a vyšší matematice považován za naprosto regulérní číslo jako každé jiné. Můžeme tedy naše řešení ponechat ve tvaru $ \frac{1}{2} $, ale na druhou stranu, pokud chcete, tak si můžete tento zlomek na desetinné číslo převést, protože se jedná o zlomek, který lze na desetinné číslo převést velmi snadno (jedna polovina = 0,5), takže můžeme napsat:

$$ y = 0{,}5 $$

Zkouška:

Nyní provedeme zkoušku. Připomeňme, že zkoušku uděláme tak, že vezmeme výrazy z levé a potom z pravé strany původní rovnice, dosadíme do nich za neznámou y naše řešení a ověříme, zda nám vyjdou stejné výsledky:

\begin{align*}
L(0{,}5) &= 7 \; – \; [3 \; – \; (5  \; – \; y)] = \\
&= 7 \; – \; [3 \; – \; (5 \; – \; 0{,}5)] = \\
&= 7 \; – \; [3 \; – \; 4{,}5] = \\
&= 7 \; – \; (-1{,}5) = \\
&= 7 + 1{,}5 = 8{,}5 \\
\\
P(0{,}5) &= 11 \; – \; 5y = \\
&= 11 \; – \; 5 \cdot 0{,}5 = \\
&= 11 \; – \; 2{,}5 = 8{,}5
\end{align*}

$$ L(0{,}5) = P(0{,}5) $$

Příklad 3

Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku:

\[ 9 \; – \; 2[4 \; – \; 3(7 \; – \; 2x)] = 2(11 + x) \]

Řešení:

Krok 1:

V rovnici nejsou žádné zlomky.

Krok 2:

Závorek se opět zbavíme jejich roznásobením. Protože na levé straně máme vnořené závorky, nejprve se zbavíme závorky vnitřní (kulaté) a až poté vnější (hranaté). Pozor si jako vždy musíme dávat na znaménka – vnitřní i vnější závorku na levé straně rovnice budeme roznásobovat záporným číslem, takže se nám u příslušných členů otočí znaménka na opačná. Na pravé straně se můžeme zbavit kulatých závorek rovnou:

\begin{align*} 9 \; – \; 2[4 \; – \; 21 + 6x] &= 22 + 2x \\ 9 \; – \; 8 + 42 \; – \; 12x &= 22 + 2x \end{align*}

Krok 3:

Na levé straně rovnice si spolu sečteme čísla. Je zde pouze jeden člen s neznámou x, takže k němu nemáme co přičíst. Pravou stranu ponecháme, protože zde máme jen jedno číslo a jeden člen s neznámou x:

$$ 43 \; – \; 12x = 22 + 2x $$

Krok 4:

Pomocí ekvivalentních úprav si převedeme číslo 22 z pravé strany rovnice na levou stranu a člen $ – 12x $ z levé strany na pravou, abychom rovnici dostali do separovaného tvaru. Mohli bychom to provést postupně, ale nic nám nebrání udělat to v jednom kroku. Potom čísla na levé straně a x-ka na pravé straně sečteme:

\begin{align*} 43 \; – \; 12x &= 22 + 2x \qquad |- 22 + 12x \\ 43 \; – \; 22 &= 2x + 12x \\ 21 &= 14x \\ \end{align*}

Krok 5:

Rovnici vydělíme počtem neznámých x, tzn. čtrnácti a získáme řešení:

\begin{align*}
21 &= 14x \qquad |: 14 \\
\frac{21}{14} &= x \\
x &= \frac{3}{2}
\end{align*}

Zkouška:

\begin{align*} L &= 9 \; – \; 2[4 \; – \; 3(7 \; – \; 2x)] = \\ &= 9 \; – \; 2\bigg[4 \; – \; 3\bigg(7 \; – \; 2 \cdot \frac{3}{2}\bigg)\bigg] = \\ &= 9 \; – \; 2[4 \; – \; 3(7 \; – \; 3)] = \\ &= 9 \; – \; 2[4 \; – \; 3 \cdot 4] = \\ &= 9 \; – \; 2[4 \; – \; 12] = \\ &= 9 \; – \; 2 \cdot (-8) = 9 + 16 = 25 \\ \\ P &= 2(11 + x) = 2\bigg(11 + \frac{3}{2}\bigg) = \\ &= 2 \cdot \frac{25}{2} = 25 \end{align*}

$$ L\bigg(\frac{3}{2}\bigg) = P\bigg(\frac{3}{2}\bigg) $$

Závěr

V tomto článku jsme si ukázali univerzální postup, který se obvykle používá při řešení lineárních rovnic a spočítali jsme si několik příkladů včetně provádění zkoušky.

Zatím jsme počítali pouze rovnice se závorkami – v příštím článku se budeme věnovat rovnicím se zlomky a ukážeme si, jak se těchto zlomků z rovnice zbavit.