Lineární nerovnice

Vítejte u série věnované lineárním nerovnicím. V tomto článku si popíšeme, co to lineární nerovnice jsou a jak se řeší.

Definice lineární nerovnice

Definice lineární nerovnice je následující:

Znamená to, že lineární nerovnice je každá taková nerovnice, která se dá na některý z těchto čtyř tvarů převést.

Ekvivalentní úpravy nerovnic

Lineární nerovnice se podobně jako lineární rovnice řeší pomocí ekvivalentních úprav, ale platí zde některá pravidla navíc. Pokud obě strany nerovnice vynásobíme nebo vydělíme záporným číslem, musíme otočit znak nerovnosti. Znak nerovnosti musíme otočit i tehdy, pokud si prohodíme levou stranu nerovnice se stranou pravou.

Znak nerovnosti tedy musíme otočit po vynásobení a vydělení nerovnice, ale jenom tehdy, pokud nerovnici násobíme nebo dělíme záporným číslem. To má důsledek, že pokud máme nerovnici s neznámou ve jmenovateli zlomku, nemůžeme se tohoto zlomku zbavit vynásobením obou stran rovnice výrazem obsahující neznámou, protože není jasné, zda rovnici násobíme kladným číslem nebo záporným, a zda tedy máme nebo nemáme otočit znak nerovnosti. Podívejte se na následující nerovnici:

$$ \frac{x \; – \; 2}{x + 6} \geqq -2 $$

Kdyby nešlo o nerovnici, ale o rovnici, zbavili bychom se zlomku tak, že bychom obě strany rovnice vynásobili výrazem $ x + 6 $, ale kdybychom to provedli u nerovnice, nevěděli bychom, zda máme znak nerovnosti ponechat stejný nebo ho otočit, protože nevíme, zda je výraz $ x + 6 $ kladný nebo záporný.

Ve skutečnosti je pro určité hodnoty neznámé x kladný a pro jiné hodnoty této neznámé záporný, což nám komplikuje situaci. Takovéto nerovnice musíme řešit jako nerovnice v podílovém tvaru, o kterých pojednáme v příslušném článku.

Pokud si k oběma stranám nerovnice něco přičítáme nebo od obou stran něco odečítáme, nebo i pokud si obě strany nerovnice vynásobíme nebo vydělíme kladným číslem, znak nerovnosti zůstává stejný.

Řešení lineární nerovnice

Řešením lineární nerovnice není jedno číslo, jak jsme na to zvyklí u lineárních rovnic, ale interval, tzn. nekonečně mnoho reálných čísel, jejichž obrazy by na číselné ose tvořily určitý spojitý úsek.

Jednotlivé ekvivalentní úpravy i řešení si ukážeme na následujících příkladech.

Příklad 1

Řešte nerovnici:

$$ 2x + 7 < 3x \; – \; 4 $$

Řešení

Provedeme ekvivalentní úpravy, pomocí kterých si převedeme členy s neznámou x na jednu stranu nerovnice a čísla na stranu druhou, a tyto členy sečteme:

\begin{align*} 2x + 7 &< 3x \; – \; 4 \qquad | -2x \\ 2x + 7 \; – \; 2x &< 3x \; – \; 4 \; – \; 2x \\ 7 &< x \; – \; 4 \qquad | + 4 \\ 7 + 4 &< x \; – \; 4 + 4 \\ 11 &< x \\ x &> 11 \end{align*}

Nejdřív jsme od obou stran nerovnice odečetli 2x. Úprava odečítání u nerovnic ještě nepatří mezi ekvivalentní úpravy, kde bychom si museli dělat starosti s otočením znaku nerovnosti, takže znak nerovnosti zůstal stejný. Stejný zůstal i při přičtení čísla 2 k oběma stranám nerovnice. Otočili jsme ho až na konci, kdy jsme prohodili levou a pravou stranu nerovnice, takže ze znaku „menší než“ se stal znak „větší než“.

Řešením nerovnice je jakékoli reálné číslo, které je větší než 11, takže množinu K řešení (kořenů) nerovnice můžeme zapsat pomocí intervalu takto:

$$ K = (11; +\infty) $$

Tento interval je otevřený, protože samotné číslo 11 do něj nepatří (protože 11 není větší než 11), i když je jeho hranicí. Teprve čísla větší než 11 (např. 11,001, 12, 147,5 atd.) do tohoto intervalu patří.

Obecně platí, že pokud máme ve výsledku ostrou nerovnost, tj. takovou, kde je znak „menší než“ ($ < $) nebo „větší než“ ($ > $), pak je příslušná strana intervalu otevřená a píše se s kulatou závorkou. Pokud máme ve výsledku neostrou nerovnost, tj. takovou, kde je znak „menší nebo rovno“ ($ \leqq $) nebo „větší nebo rovno“ ($ \geqq $), pak je příslušná strana intervalu uzavřená a píše se s lomenou závorkou.

Ukážeme si to na dalším příkladu:

Příklad 2

Řešte nerovnici:

\[ 5x \; – \; 2 \leqq 4(x \; – \; 1) \; – \; 2 \]

Řešení

Roznásobíme závorku a dále nerovnici dopočítáme obvyklým způsobem:

\begin{align*} 5x \; – \; 2 &\leqq 4(x \; – \; 1) \; – \; 2 \\ 5x \; – \; 2 &\leqq 4x \; – \; 4 \; – \; 2 \\ 5x \; – \; 2 &\leqq 4x \; – \; 6 \qquad |-4x + 2 \\ 5x \; – \; 4x &\leqq -6 + 2 \\ x &\leqq -4 \end{align*}

Výsledkem je každé reálné číslo, které je menší nebo rovno -4. Právě kvůli onomu „nebo rovno“ se jedná o neostrou nerovnost a příslušná množina K řešení (kořenů) nerovnice bude vypadat takto:

$$ K = (-\infty; -4 \rangle $$

Interval je tedy zakončen lomenou závorkou, což znamená, že číslo -4 do něj ještě patří (protože -4 je menší nebo rovno -4).

Příklad 3

Řešte nerovnici:

\[ 2(y \; – \; 1) \; – \; y > 3(y \; – \; 1) \; – \; 2y \; – \; 5 \]

Řešení

Rovnici vyřešíme obvyklým způsobem:

\begin{align*} 2(y \; – \; 1) \; – \; y &> 3(y \; – \; 1) \; – \; 2y \; – \; 5 \\ 2y \; – \; 2 \; – \; y &> 3y \; – \; 3 \; – \; 2y \; – \; 5 \\ y \; – \; 2 &> y \; – \; 8 \qquad |-y + 2 \\ y \; – \; y &> -8 + 2 \\ 0 &> 6 \end{align*}

Neznámá y z nerovnice úplně vypadla, což stejně jako u rovnic znamená, že nerovnice buď nemá žádné řešení, nebo jejím řešením je libovolné reálné číslo. Který z těchto případů to je, poznáme podle toho, zda je tato nerovnost platná nebo neplatná. Nám na konci zbyla nerovnost $ 0 > -6 $, takže si můžeme položit otázku: „Je pravda, že číslo 0 je větší než číslo -6?“ Odpověď je ano, tj. tato nerovnost je platná a řešením rovnice je proto libovolné reálné číslo.

Množinu K kořenů nerovnice můžeme zapsat buď takto:

$$ K = R $$

čímž říkáme právě to, že množinaK kořenů nerovnice je rovna množině všech reálných čísel, nebo intervalem takto:

$$ K = (-\infty; +\infty) $$

což je interval obsahující všechna reálná čísla od minus nekonečna do plus nekonečna. Oba zápisy jsou ekvivalentní.

Příklad 4

Řešte nerovnici:

$$ 3x + 5 < 3x + 3 $$

Řešení

Nerovnici vyřešíme obvyklým způsobem:

\begin{align*} 3x + 5 &< 3x + 3 \qquad \-3x \; – \; 5 \\ 3x \; – \; 3x &< 3 \; – \; 5 \\ 0 &< -2 \end{align*}

Neznámá x z nerovnice stejně jako v předchozím příkladu úplně vypadla, ale tentokrát jsme dostali neplatnou nerovnost. Když si totiž položíme otázku: „Je pravda, že číslo 0 je menší než číslo -2?“, odpověď je ne. Proto tato rovnice nemá žádné řešení. Množina K kořenů nerovnice je prázdná množina, což můžeme zapsat takto:

$$ K = \emptyset $$

kde $ \emptyset $ je symbol právě pro prázdnou množinu.

Příklad 5

Řešte nerovnici:

\[ \frac{2x \; – \; 3}{3} + \frac{3x \; – \; 2}{2} \geqq \frac{1}{6} \]

Řešení

Jedná se o lineární nerovnici se zlomky, kterých se zbavíme stejným způsobem, jako jsme to dělali u lineárních rovnic se zlomky (viz příslušný článek). Tzn. že obě strany nerovnice vynásobíme nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů, které v nerovnici máme, což je číslo 6. Nerovnici tedy budeme násobit kladným číslem, takže nebudeme otáčet znak nerovnosti.

Po vynásobení nerovnice ji dopočítáme obvyklým způsobem:

\begin{align*} \frac{2x \; – \; 3}{3} + \frac{3x \; – \; 2}{2} &\geqq \frac{1}{6} \qquad | \cdot 6 \\ 2(2x \; – \; 3) + 3(3x \; – \; 2) &\geqq 1 \\ 4x \; – \; 6 + 9x \; – \; 6 &\geqq 1 \\ 13x \; – \; 12 &\geqq 1 \qquad |+12 \\ 13x &\geqq 13 \qquad |:13 \\ x &\geqq 1 \end{align*}

Na začátku výpočtu jsme nerovnici vynásobili kladným číslem, na konci jsme ji vydělili rovněž kladným číslem, a nikde jsme neprohazovali strany nerovnice, takže jsme nikde nemuseli otáčet znak nerovnosti.

Řešením nerovnice jsou všechna čísla větší nebo rovno 1. Příslušnou množinu K kořenů nerovnice můžeme zapsat takto:

$$ K = \langle 1; +\infty) $$

Závorka u čísla 1 je lomená, protože samotné číslo 1 do tohoto intervalu patří (máme neostrou nerovnost).

Příklad 6

Řešte nerovnici:

\[ \frac{2t \; – \; 17}{4} \; – \; \frac{8 \; – \; t}{2} \; – \; 2 < t \; – \; 4 + \frac{t}{8} \]

Řešení

Obě strany nerovnice opět vynásobíme nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů, které v nerovnici máme, což je číslo 8 a nerovnici dopočítáme obvyklým způsobem:

\begin{align*} \frac{2t \; – \; 17}{4} \; – \; \frac{8 \; – \; t}{2} \; – \; 2 &< t \; – \; 4 + \frac{t}{8} \qquad | \cdot 8 \\ 2(2t \; – \; 17) \; – \; 4(8 \; – \; t) \; – \; 16 &< 8t \; – \; 32 + t \\ 4t \; – \; 34 \; – \; 32 + 4t \; – \; 16 &< 9t \; – \; 32 \\ 8t \; – \; 82 &< 9t \; – \; 32 \qquad |-9t + 82 \\ 8t \; – \; 9t &< -32 + 82 \\ -t&< 50 \qquad | \cdot(-1) \\ t &> -50 \end{align*}

Na konci postupu jsme nerovnici vynásobili záporným číslem (-1), a proto jsme museli otočit znak nerovnosti z „menší než“ na „větší než“.

Řešením nerovnice jsou všechna reálná čísla, která jsou větší než -50. Příslušnou množinu K kořenů nerovnice můžeme zapsat pomocí intervalu takto:

$$ K = (-50; +\infty) $$ Máme zde ostrou nerovnost, proto je závorka u čísla -50 kulatá. Tzn. že číslo -50 nepatří do tohoto intervalu (protože -50 není větší než -50).

Závěr

V tomto článku jsme probrali lineární nerovnice, které se řeší pomocí ekvivalentních úprav podobně jako lineární rovnice, pouze zde platí některá pravidla navíc. Také jsme si ukázali, že řešením lineární nerovnice není číslo, ale interval.

V příštím článku na dnešní téma navážeme soustavami lineárních nerovnic.