Lineární lomená funkce – 2. část - Matematika nejen pro střední školy

V předchozím článku jsme si popsali nepřímou úměrnost, která je speciálním druhem lineární lomené funkce. Pokud s lineární lomenou funkcí teprve začínáte, doporučuji si nejdříve zmíněný článek přečíst, protože jsme v něm zavedli spoustu pojmů, které budeme používat i zde.

Obecný předpis lineární lomené funkce

Obecný předpis lineární lomené funkce může mít dvě podoby, které se dají převést jedna na druhou. Ta, se kterou se nejčastěji setkáte v učebnicích, je následující:

$$ f(x): y = \frac{ax + b}{cx + d} $$

kde a, b, c, d jsou reálná čísla (konstanty), kterým také říkáme koeficienty. Dosadíme-li za ně konkrétní čísla, získáme konkrétní lineární lomenou funkci. Platí pro ně však dvě omezení:

$ c \neq 0 $. Kdyby se totiž koeficient c rovnal nule, celý člen cx by ze jmenovatele zlomku zmizel a zbyla by tam pouze konstanta d. Tím pádem už by funkce nebyla lineární lomená, ale lineární.
$ ad \; – \; bc \neq 0 $. Kdyby platilo, že se celý tento výraz bude rovnat nule, stala by se z funkce část konstantní funkce, takže opět už by nebyla lineární lomená.

Definiční obor lineární lomené funkce

Definičním oborem lineární lomené funkce jsou všechna reálná čísla kromě čísla daného zlomkem $ -\frac{d}{c} $. Tedy platí:

$$ D(f) = R \; – \; \bigg\{ -\frac{d}{c} \bigg\} $$

Kdybychom totiž číslo dané výrazem $ -\frac{d}{c} $ dosadili do předpisu lineární lomené funkce, celý jmenovatel v tomto předpisu by byl roven nule a došlo by tedy k dělení nulou, což v matematice nejde.

Graf lineární lomené funkce

Grafem lineární lomené funkce je hyperbola. Tu můžeme získat z grafu nepřímé úměrnosti $ y = \frac{k}{x} $ pomocí posunutí (viz dále).

Uveďme si příklad. Máme lineární lomenou funkci danou následujícím předpisem:

$$ f(x): y = \frac{x \; – \; 2}{x + 2} $$

To znamená, že koeficienty mají následující hodnoty: a = 1 (v čitateli zlomku máme jen jedno x), b = -2 (za tímto x je záporná dvojka), c = 1 (ve jmenovateli zlomku máme opět jen jedno x), d = 2 (za tímto x je kladná dvojka).

Asymptoty a jejich průsečík

Nejdříve musíme sestrojit asymptoty této funkce, tedy ty dvě na sebe kolmé přímky rovnoběžné s osami souřadného systému, které budou vymezovat plochy pro jednotlivé větvě hyperboly. Tyto asymptoty už nebudou splývat s osami, jako tomu je u nepřímé úměrnosti, ale budou vůči počátku souřadnic posunuty. V tomto posunutí asymptot a s nimi i obou větví hyperboly právě spočívá nejzásadnější rozdíl „obecné“ lineární lomené funkce oproti nepřímé úměrnosti.

Abychom mohli sestrojit asymptoty, potřebujeme najít jejich průsečík, kterému se také říká střed hyperboly. Potom už bude stačit nakreslit právě výše zmíněné kolmice rovnoběžné s osami souřadného systému tak, aby tímto průsečíkem procházely.

Máme dvě možnosti, jak to udělat: buď si souřadnice průsečíku spočítáme pomocí vzorců, nebo si předpis funkce převedeme na takový tvar, ze kterého budou tyto souřadnice na první pohled patrné. Pojďme si obě možnosti rozebrat:

1. Nalezení průsečíku asymptot pomocí vzorců

Jednotlivé souřadnice [x_s, y_s] průsečíku asymptot spočítáme pomocí koeficientů takto:

$$ x_s = -\frac{d}{c} $$

$$ y_s = \frac{a}{c} $$

V případě naší funkce:

$$ f(x): y = \frac{x \; – \; 2}{x + 2} $$

tedy dostaneme:

$$ x_s = -\frac{2}{1} = -2 $$

$$ y_s = \frac{1}{1} = 1 $$

2. Převod předpisu funkce do alternativního tvaru

Tento způsob je obdobou vrcholového tvaru kvadratické funkce, o kterém jsme psali v příslušném článku.

Potřebujeme náš předpis lineární lomené funkce:

$$ f(x): y = \frac{ax + b}{cx + d} $$

převést na tvar:

$$ f(x): y = p + \frac{k}{x + q} $$

kde p, q, k jsou opět reálná čísla (konstanty). A ano, konstanta k je náš „starý známý“ koeficient k z předpisu nepřímé úměrnosti.

Převod naší funkce:

$$ f(x): y = \frac{x \; – \; 2}{x + 2} $$

na výše zmíněný tvar můžeme provést vydělením výrazu v čitateli výrazem ve jmenovateli čili pomocí dělení mnohočlenů, kdy tyto výrazy dáme do závorek a místo „lomeno“ mezi ně napíšeme „děleno“. Dostaneme:

$$ \frac{x \; – \; 2}{x + 2} = (x \; – \; 2):( x + 2) = 1 + \frac{-4}{x + 2} $$

a tedy hodnoty koeficientů p = 1, q = 2, k = -4.

Je možné, že když budete řešit nějaké příklady tohoto typu ve škole, tak obdržíte zadání lineární lomené funkce v tomto tvaru rovnou a nebudete muset nic převádět. A to je další důvod, proč je dobré jej znát.

Koeficient p určuje, jak bude vodorovná asymptota, a současně y-ová souřadnice průsečíku asymptot, posunutá oproti počátku souřadného systému ve směru osy y. Posunutí ve směru osy y se vždy děje v souladu se znaménkem tohoto koeficientu. V našem případě tedy bude tato hodnota y_s = 1.

Koeficient q určuje, jak bude svislá asymptota, a současně x-ová souřadnice průsečíku asymptot, posunutá oproti počátku souřadného systému ve směru osy x. Posunutí ve směru osy x se vždy děje v opačném směru, než jaké je znaménko před tímto koeficientem. V našem případě tedy bude tato hodnota x_s = -2.

Sestrojení grafu

Tento tvar lineární lomené funkce má však více výhod než jen zjištění souřadnic průsečíku asymptot.

Podle koeficientu k poznáme, ve kterých čtvrtrovinách, které získáme právě rozdělením celé plochy grafu asymptotami, budou větve hyperboly. Je to stejné jako u kvadrantů souřadného systému v případě nepřímé úměrnosti. Kladný koeficient k znamená, že větve hyperboly budou v I. a III. čtvrtrovině (vpravo nahoře a vlevo dole) a záporný – který máme nyní my – znamená II. a IV. čtvrtrovinu (vlevo nahoře a vpravo dole).

Také se nám zjednoduší vlastní sestrojení grafu, jak ještě uvidíme.

Když máme předpis funkce v převedeném tvaru:

$$ f(x): y = 1 + \frac{-4}{x + 2} $$

uděláme si nejdříve tabulku pro hodnoty zjednodušené funkce, jejíž předpis získáme tak, že úplně vynecháme koeficient p – číslo 1 na začátku výrazu – a také koeficient q – číslo 2 na konci jmenovatele zlomku, takže dostaneme:

$$ f(x): y = \frac{-4}{x} $$

Jak můžete vidět, jde v podstatě o předpis nepřímé úměrnosti. Zvolíme si několik kladných a stejný počet záporných hodnot x a vypočítáme k nim příslušné hodnoty y:

x	$ \frac{1}{2} $	1	2	5	$ -\frac{1}{2} $	-1	-2	-5
y	-8	-4	-2	$ -\frac{4}{5} $	8	4	2	$ \frac{4}{5} $

Nyní provedeme výše zmíněné posunutí, pomocí kterého si vytvoříme tabulku pro naši originální funkci.

Protože víme, že celý náš graf bude proti počátku souřadného systému posunutý ve směru osy x o hodnotu x_s = -2, tak v této nové tabulce ke všem číslům x přičteme právě tuto hodnotu (jelikož přičíst zápornou hodnotu je totéž, jako odečíst příslušnou kladnou hodnotu, tak jinými slovy odečteme od každé hodnoty x číslo 2). Totéž uděláme s hodnotami y: Víme, že graf naší funkce bude posunutý ve směru osy y o hodnotu y_s = 1, a proto ke všem číslům y přičteme rovněž právě tuto hodnotu, tzn. všechna je zvětšíme o jedničku.

Získáme tak následující tabulku:

x	$ -\frac{3}{2} $	-1	0	3	$ -\frac{5}{2} $	-3	-4	-7
y	-7	-3	-1	$ \frac{1}{5} $	9	5	3	$ \frac{9}{5} $

podle které sestrojíme náš graf:

V obrázku jsou vyznačené asymptoty červenými čárkovanými přímkami a také jejich průsečík neboli střed hyperboly, označený písmenem S. Jak vidíte, jednotlivé větve hyperboly se stejně jako u nepřímé úměrnosti stále blíží – tentokrát ne k osám souřadného systému – ale k asymptotám, a celý graf vypadá jako bychom vzali graf nepřímé úměrnosti $ y = \frac{-4}{x} $ a posunuli ho o dvě jednotky doleva (do záporných hodnot ve smyslu osy x) a jednu jednotku nahoru (do kladných hodnot ve smyslu osy y).

A to je celá podstata lineární lomené funkce – graf vypadá stejně jako u nepřímé úměrnosti, ale je v souřadném systému posunutý.

Možná se ptáte, proč jsme si místo tvorby dvou tabulek jednoduše nezvolili hodnoty x, nedosadili je přímo do předpisu naší lineární lomené funkce, a nespočítali příslušné hodnoty y rovnou. Proč jsme místo toho tvořili jednu tabulku s nepřímou úměrností a druhou s posunutými hodnotami. Odpověď je taková, že by to šlo provést a nic nám v tom nebrání, ale jednotlivé výpočty hodnot y by byly složitější. Je zkrátka snazší dosadit hodnoty x do jednoduššího předpisu a následně nějaké číslo přičíst nebo odečíst.

Vlastnosti naší funkce

Shrňme si ještě vlastnosti této naší funkce s předpisem:

$$ f(x): y = \frac{x \; – \; 2}{x + 2} $$

neboli:

$$ f(x): y = 1 + \frac{-4}{x + 2} $$

jejíž graf jsme právě sestrojili.

Funkce má definiční obor:

$$ D(f) = R \; – \; \{-2\} $$

a obor hodnot:

$$ H(f) = R \; – \; \{1\} $$

Funkce není ani lichá ani sudá (její graf už – na rozdíl od nepřímé úměrnosti – není středově souměrný podle počátku souřadného systému a není ani osově souměrný podle osy y).

Funkce je rostoucí na intervalech $ (-\infty; -2) $ a $ (-2; +\infty) $.

Funkce je prostá.

Funkce není ani zdola ani shora omezená a nemá v žádném bodě ani minimum ani maximum.

Pozor – právě uvedené vlastnosti skutečně platí pouze pro naši konkrétní funkci, u jiných lineárních lomených funkcí budou některé z nich vypadat jinak.

Závěr

V tomto článku jsme probrali lineární lomenou funkci a navázali jsme tak na článek předchozí, v němž jsme se věnovali nepřímé úměrnosti, která je jejím speciálním a jednodušším typem.

V obou případech je grafem těchto funkcí hyperbola, která má tzv. asymptoty, jež v případě nepřímé úměrnosti splývají s osami souřadného systému, zatímco u složitější lineárně lomené funkce jsou vůči těmto osám posunuty.

V následujícím článku se podíváme na mocninnou funkci s přirozeným exponentem.