V předchozím článku jsme si probrali kvadratickou funkci. Obsahem tohoto článku je nepřímá úměrnost, která je speciálním druhem lineární lomené funkce. Jak napovídá slovo „lomená“, je definována pomocí zlomku, který obsahuje proměnnou x ve svém jmenovateli.
Definice nepřímé úměrnosti
Nepřímá úměrnost je nejjednodušší druh lineární lomené funkce. Její obecný předpis je následující:
$$ f(x): y = \frac{k}{x} $$
kde k je reálné číslo – konstanta, které můžeme říkat koeficient.
Platí, že tato konstanta k se nesmí rovnat nule, protože v takovém případě by se z naší funkce stala část konstantní funkce, která nepatří mezi nepřímou úměrnost.
U přímé úměrnosti v článku o lineární funkci jsme viděli, že nějaké číslo jsme násobili proměnnou x. V případě nepřímé úměrnosti naopak nějaké číslo proměnnou x dělíme, protože je ve jmenovateli zlomku.
Také jsme si u přímé úměrnosti říkali, že pro ni platí, že kolikrát zvětšíme hodnotu nezávisle proměnné x, tolikrát se nám zvětší i hodnota závisle proměnné y, a naopak: kolikrát zmenšíme hodnotu proměnné x, tolikrát se zmenší i hodnota proměnné y.
U nepřímé úměrnosti je tomu opačně: Kolikrát zvětšíme hodnotu nezávisle proměnné x, tolikrát se nám zmenší hodnota závisle proměnné y, a naopak – kolikrát zmenšíme hodnotu proměnné x, tolikrát se hodnota proměnné y zvětší.
Definičním oborem nepřímé úměrnosti jsou všechna reálná čísla kromě čísla 0, což můžeme zapsat takto:
$$ D(f) = R \; – \; \{0\} $$
Je to proto, že kdybychom dosadili do předpisu funkce za x nulu, měli bychom ji ve jmenovateli zlomku, a tím pádem bychom se pokoušeli nulou dělit.
Dále si všimněte, že když jsme v zápise definičního oboru nepřímé úměrnosti z něj odebrali nulu, zapsali jsme ji dovnitř složených závorek. Důvod je ten, že jak definiční obor, tak obor všech reálných čísel jsou z matematického hlediska množiny, takže v celém zápisu pracujeme s množinovou symbolikou. A od množiny můžeme odečíst zase jen množinu. Tím pádem musíme číslo 0 vložit do množinových (složených) závorek, abychom získali jednoprvkovou množinu, kterou můžeme odečíst.
Teď, když jsme si řekli, co je to nepřímá úměrnost, a uvedli nezbytnou teorii, si ukážeme nějaké její konkrétní příklady včetně grafů a specifických vlastností.
Příklady nepřímé úměrnosti
Zvolme si za konstantu k číslo 1. Dostaneme konkrétní funkci nepřímé úměrnosti dané předpisem:
$$ f(x): y = \frac{1}{x} $$
což je nejjednodušší druh nepřímé úměrnosti vůbec. Vlastně by se dalo říct, že tato funkce nám vytvoří z nezávisle proměnné x její převrácenou hodnotu.
Nyní si sestrojíme její graf. Zvolíme si několik kladných a stejný počet záporných čísel x a spočítáme k nim příslušné hodnoty y:
| x | $ \frac{1}{5} $ | $ \frac{1}{2} $ | 1 | 2 | 5 | $ -\frac{1}{5} $ | $ -\frac{1}{2} $ | -1 | -2 | -5 |
| y | 5 | 2 | 1 | $ \frac{1}{2} $ | $ \frac{1}{5} $ | -5 | -2 | -1 | $ -\frac{1}{2} $ | $ -\frac{1}{5} $ |
Příslušné dvojice hodnot dané jednotlivými sloupci tabulky vyneseme jako body do souřadného systému a potom jejich kladnou a zápornou skupinu proložíme křivkami:
Grafem každé lineární lomené funkce, a tím pádem i nepřímé úměrnosti, je rovnoosá hyperbola.
Vidíme, že naše hyperbola má dvě větve: první v I. kvadrantu souřadného systému (vpravo nahoře), druhou v jeho III. kvadrantu (vlevo dole). Rovnoosá je proto, že každá z větví se přibližuje k tzv. asymptotám, což jsou na sebe kolmé přímky, které jsou rovnoběžné s osami souřadného systému. V případě nepřímé úměrnosti jsou tyto asymptoty samotné osy souřadného systému.
Podívejme se například na první – „pravou horní“ – větev hyperboly. Vidíme, že budeme-li zvětšovat hodnoty x, hodnoty y budou stále klesat, ale toto klesání bude zároveň stále pomalejší, takže tato část hyperboly nejenže nikdy neklesne pod osu y, ale nikdy jí ani nedosáhne.
Podobně platí, že směrem nahoru se hyperbola blíží k ose x, ale také se jí nikdy „nedotkne“. S druhou větví hyperboly je to obdobné: směrem doleva i dolů se blíží k osám souřadného systému, ale nikdy jich nedosáhne. Asymptoty zkrátka vymezují části plochy, ve kterých se jednotlivé větve hyperboly vyskytují.
Zvolme nyní koeficient k = 2 a opět sestrojme graf příslušné funkce, která nyní bude mít předpis:
$$ f(x): y = \frac{2}{x} $$
Můžeme využít toho, že pro každou hodnotu x bude hodnota funkce $ y = \frac{2}{x} $ dvojnásobkem hodnoty funkce $ y = \frac{1}{x} $. Vrátíme se tedy k naší tabulce výše a všechny hodnoty y vynásobíme dvěma. Také vynecháme hodnoty $ x = \frac{1}{5} $ a $ x = -\frac{1}{5} $, pro které by vyšly hodnoty y = 10 a y = -10, abychom nemuseli kreslit graf s velkým rozptylem hodnot y.
| x | $ \frac{1}{2} $ | 1 | 2 | 5 | $ -\frac{1}{2} $ | -1 | -2 | -5 |
| y | 4 | 2 | 1 | $ \frac{2}{5} $ | -4 | -2 | -1 | $ -\frac{2}{5} $ |
Sestrojíme graf:
A nyní si grafy obou funkcí pro srovnání nakreslíme do jednoho obrázku:
Vidíme, že když zvětšíme hodnotu koeficientu k, příslušná hyperbola je jakoby „volnější“, nemá tendenci se přibližovat k osám souřadného systému tak rychle.
Do třetice si uveďme příklad, kdy bude koeficient k záporný, zvolme např. hodnotu k = -4, takže získáme funkci danou předpisem:
$$ f(x): y = \frac{-4}{x} $$
Opět můžeme využít tabulky, kterou jsme si udělali u prvního příkladu $ f(x): y = \frac{1}{x} $. Každou hodnotu y nyní vynásobíme čtyřikrát a současně obrátíme její znaménko:
| x | $ \frac{1}{2} $ | 1 | 2 | 5 | $ -\frac{1}{2} $ | -1 | -2 | -5 |
| y | -8 | -4 | -2 | $ -\frac{4}{5} $ | 8 | 4 | 2 | $ \frac{4}{5} $ |
A sestrojíme graf:
Kromě toho, že graf je nyní opět o něco „volnější“ – větve hyperboly nemají tendenci se tak rychle přibližovat k osám – je hlavním rozdílem skutečnost, že tyto větve už neleží v I. a III. kvadrantu souřadného systému, ale ve II. a IV. kvadrantu, tedy vlevo nahoře a vpravo dole.
Vlastnosti funkce nepřímé úměrnosti
Shrňme si nyní specifické vlastnosti funkce nepřímá úměrnost.
Protože graf nepřímé úměrnosti je středově souměrný podle počátku souřadného systému, je tato funkce lichá.
Definiční obor jsme si již uvedli, jsou jím všechna reálná čísla kromě čísla nula, tedy:
$$ D(f) = R \; – \; \{0\} $$
Obor hodnot je stejný:
$$ H(f) = R \; – \; \{0\} $$
protože neexistuje takové číslo x, které bychom mohli dosadit do předpisu funkce tak, aby vyšlo y = 0. To je vidět i z grafu nepřímé úměrnosti, kde se obě větve hyperboly k hodnotě y = 0 sice blíží, ale aby jí dosáhli, museli by někde protnout osu y, nebo alespoň se jí dotknout, což se nikdy nestane.
Nepřímá úměrnost je funkce lichá.
Nepřímá úměrnost není ani zdola ani shora omezená a nemá v žádném bodě ani minimum ani maximum. Buď totiž jedna větev hyperboly klesá z plus nekonečna a druhá klesá do minus nekonečna (pro k > 0) nebo jedna větev roste do plus nekonečna a druhá roste z mínus nekonečna (pro k < 0).
Pro kladné hodnoty koeficientu k (k > 0) platí, že jednotlivé větve hyperboly se budou nacházet v I. a III. kvadrantu souřadného systému a funkce bude na intervalech $ (-\infty; 0) $ a $ (0; +\infty) $ klesající, zatímco pro záporné hodnoty koeficientu k (k < 0) platí, že větve hyperboly se budou nacházet v II. a IV. kvadrantu a funkce bude na intervalech $ (-\infty; 0) $ a $ (0; +\infty) $ rostoucí. (Podívejte se na obrázky výše.)
Nepřímá úměrnost je funkce prostá.
Závěr
V tomto článku jsme si ukázali speciální druh lineární lomené funkce zvané nepřímá úměrnost. Získali jsme tak dobrý základ pro pochopení lineární lomené funkce v širším smyslu (jež nemusí být nepřímou úměrností), kterou si popíšeme v následujícím článku.