V předchozím článku jsme probrali pojem inverzní funkce. V tomto článku budeme pokračovat dalším konkrétním druhem funkce, kterým je funkce n-tá odmocnina.
Tato funkce s pojmem inverzní funkce souvisí, protože vlastně jde o inverzní funkci k mocninným funkcím s přirozeným exponentem. Když se řekne „n-tá odmocnina“, myslí se tím druhá, třetí, čtvrtá a tak dále.
Odmocnina
Připomeňme si, co to vlastně odmocnina je. Druhá odmocnina je takové číslo, které když vynásobíme sebou samým, tak dostaneme právě to číslo, jehož odmocninu počítáme. Například:
$$ \sqrt{16} = 4 $$
protože $ 4 \cdot 4 = 16 $.
U druhé odmocniny nemusíme u symbolu $ \sqrt{} $ uvádět její exponent, protože je to nejčastěji používaná odmocnina v celé matematice.
Třetí odmocnina je pak takové číslo, které musíme vynásobit sebou samým už třikrát, abychom dostali právě to číslo, jehož třetí odmocninu hledáme. Například:
$$ \sqrt[3]{64} = 4 $$
protože $ 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 $.
Zcela obdobně bychom mohli definovat vyšší odmocniny (čtvrtou, pátou atd.)
Definiční obor a graf a vlastnosti funkce n-tá odmocnina
Definiční obor funkce n-tá odmocnina závisí na exponentu odmocniny – pro sudá n bude definičním oborem množina všech nezáporných čísel, tedy:
$$ D(f) = \langle 0; +\infty) $$
a pro lichá n bude definičním oborem množina všech reálných čísel, tedy:
$$ D(f) = R $$
Důvod, proč pro sudá n je definiční obor omezen pouze na nezáporná čísla, je ten, že například druhá (ale ani čtvrtá, šestá a obecně jakákoli sudá) odmocnina ze záporných čísel neexistuje.
Pro lichá n ovšem odmocnina existuje i ze záporných čísel, např. třetí odmocnina z čísla -8 je -2, protože když číslo -2 vynásobíme sebou samým třikrát, dostaneme právě -8, tedy $ (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 $.
Pojďme si sestrojit graf funkce druhá odmocnina.
Vytvoříme si tabulku hodnot x a y:
| x | 0 | 1 | 4 | 9 |
| y | 0 | 1 | 2 | 3 |
Dvojice dané jednotlivými sloupci vyneseme do souřadného systému jako body, které proložíme křivkou, a získáme tak graf:
Nyní si uvedeme vlastnosti funkce druhá odmocnina:
- funkce je rostoucí,
- definiční obor je $ D(f) = \langle 0; +\infty) $,
- obor hodnot je $ H(f) = \langle 0; +\infty) $,
- funkce je zdola omezená, není shora omezená,
- má minimum v bodě x = 0, v žádném bodě nemá maximum,
- není ani sudá ani lichá.
Stejné vlastnosti by měla i každá funkce n-tá odmocnina se sudým exponentem odmocniny.
Protože funkce druhá odmocnina je inverzní k mocninné funkci $ y = x^2 $ s definičním oborem $ \langle 0; +\infty) $, ukažme si pro srovnání obrázek, kde jsou v jednom souřadném systému obsaženy grafy obou funkcí včetně osy symetrie:
Nyní si sestrojíme graf funkce třetí odmocnina.
Vytvoříme si tabulku hodnot x a y:
| x | -8 | -1 | 0 | 1 | 8 |
| y | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
Dvojice dané jednotlivými sloupci vyneseme do souřadného systému jako body, které proložíme křivkou, a získáme tak graf:
Opět si uvedeme vlastnosti – tentokrát vlastnosti funkce třetí odmocnina:
- funkce je rostoucí,
- definiční obor je $ D(f) = R $
- obor hodnot je $ H(f) = R $
- funkce není ani zdola ani shora omezená
- v žádném bodě nemá ani minimum ani maximum,
- je lichá.
Stejné vlastnosti by měla i každá funkce n-tá odmocnina s lichým exponentem odmocniny.
Protože funkce třetí odmocnina je inverzní k mocninné funkci $ y = x^3 $, ukažme si pro srovnání obrázek, kde jsou v jednom souřadném systému obsaženy grafy obou funkcí včetně osy symetrie:
Závěr
V tomto článku jsme probrali funkci n-tá odmocnina, která je inverzní funkcí k mocninné funkci n-tého stupně. Jejím grafem je v případě sudého n jedna větev paraboly „položené na ležato“ a v případě lichého n celá parabola (rovněž „položená naležato“).
V příštím článku se budeme věnovat exponenciální funkci, čímž se pomalu budeme blížit k závěru této série.