Co je vektor - Matematika nejen pro střední školy

V předchozím článku jsme se zabývali výpočtem středu úsečky.

V tomto článku se začneme věnovat vektorům, což jsou fundamentální elementy nejen pro analytickou geometrii, ale i pro jiné oblasti, jako je fyzika, statika a další.

Orientovaná úsečka

Například ve zmíněné fyzice často u některé veličiny potřebujeme znázornit jak její velikost, tak její směr. Budeme-li na těleso působit nějakou silou, je pro výsledný pohyb tělesa podstatný směr, kterým síla působí. Proto síly znázorňujeme tzv. orientovanými úsečkami.

Graficky znázorňujeme orientovanou úsečku jako úsečku opatřenou šipkou u koncového bodu – viz následující obrázek:

Orientovanou úsečku s počátečním bodem A a koncovým bodem B zapisujeme v textu AB. Velikost orientované úsečky AB je vzdálenost bodů A, B.

Podobně znázorňujeme orientovanými úsečkami jiné vektorové veličiny, jako např. rychlost, zrychlení apod.

Vektory v analytické geometrii

Orientovaná úsečka reprezentuje vektor. Vektor má tedy určitou velikost a určitý směr.

V různých oblastech rozlišujeme různé druhy vektorů. Zpravidla se jedná o tyto tři druhy:

Vázaný vektor je vektor určený nějakým výchozím bodem a orientovanou úsečkou, tj. má v souřadném systému pevně danou polohu.
Klouzavý vektor je dán orientovanou úsečkou ležící na určité přímce, po které ji můžeme posouvat. Tyto vektory se používají například ve statice.
Volný vektor má pouze velikost a směr, ale není vázán na určitou fixní polohu v souřadném systému ani na konkrétní přímku jako klouzavý vektor.

V analytické geometrii používáme vektory volné, což znamená, že nezáleží na tom, kde v souřadném systému si tento vektor nakreslíme. Podstatné je pouze zachovat jeho velikost a směr. Budeme-li mít dvě nebo více orientovaných úseček, z nichž všechny budou mít stejnou velikost a stejný směr, pak všechny tyto orientované úsečky budou reprezentovat jeden a týž vektor.

Proto se někdy volné vektory definují jako množina nekonečně mnoha orientovaných úseček, které mají stejnou velikost a stejný směr. Pro lepší pochopení se podívejte na následující obrázek:

Všechny orientované úsečky na obrázku mají stejnou velikost a směřují stejným směrem, proto reprezentují jediný vektor. Pokud si jednu z nich zvolíme a použijeme ji ke znázornění tohoto vektoru, tak této jedné konkrétní orientované úsečce můžeme říkat reprezentant vektoru.

Je to podobné, jako když v určité krajinné oblasti fouká vítr a my bychom chtěli znázornit jeho rychlost a směr. Také to obvykle uděláme pomocí jediné orientované úsečky, ačkoli vítr má stejnou rychlost a stejný směr ve všech bodech této krajiny.

Příklad 1

Rozhodněte, které orientované úsečky na obrázku znázorňují stejný vektor:

Řešení

Orientované úsečky AB, CD, GH, IJ mají stejnou velikost. Orientované úsečky AB, EF, IJ mají stejný směr. Stejnou velikost a zároveň stejný směr mají tedy orientované úsečky AB a IJ, které proto reprezentují stejný vektor.

Značení vektorů

Vektory se značí malými písmeny abecedy. V učebnicích nebo obecně v tištěné podobě se vektory i orientované úsečky píšou tučným, resp. polotučným písmem, zatímco při písemném zápisu se opatřují šipkou.

Například písemný zápis orientované úsečky AB bude vypadat jako $ \overrightarrow{AB} $ a písemný zápis vektoru u bude vypadat jako $ \vec{u} $.

Souřadnice vektoru

Souřadnice vektoru určeného body A, B můžeme definovat takto:

Je-li vektor u určen orientovanou úsečkou AB, nazývají se čísla $ u_1 = b_1 -a_1 $, $ u_2 = b_2 -a_2 $ (případně v prostoru ještě $ u_3 = b_3 -a_3 $) souřadnice vektoru u. Zapisujeme u = (u₁; u₂), resp. u = (u₁; u₂; u₃).

Souřadnice vektoru nezávisí na tom, kde v souřadném systému máme tento vektor zobrazen, ale závisí pouze na tom, o kolik jednotek ve směru souřadnicových os se musíme posunout, abychom se dostali ze začátku orientované úsečky na její konec.

Na následujícím obrázku máme zobrazen vektor u dvakrát – jednou jako orientovanou úsečku AB a podruhé jako orientovanou úsečku CD. Abychom se dostali z bodu A do bodu B, musíme se ve směru osy x posunout o 3 jednotky a ve směru osy y o –2 jednotky (minus, protože jdeme proti kladnému směru této osy). To samé platí o bodech C a D. Proto jsou souřadnice vektoru u = (3; -2).

Zároveň můžeme vidět, že tyto souřadnice vektoru jsou v souladu s definicí uvedenou výše, protože pokud definujeme vektor u pomocí orientované úsečky AB, platí:

\begin{align*} u_1 &= b_1 -a_1 = 4 -1 = 3 \\ u_2 &= b_2 -a_2 = 4 -6 = -2 \end{align*}

Pokud definujeme vektor u pomocí orientované úsečky CD, dostaneme stejný výsledek:

\begin{align*} u_1 &= d_1 -c_1 = 6 -3 = 3 \\ u_2 &= d_2 -c_2 = 1 -3 = -2 \end{align*}

Vektor u určený orientovanou úsečkou AB můžeme zapsat symbolicky ve tvaru u = B – A.

Rovnice u = B – A je skutečně jen symbolická. Pokud pomocí ní chceme něco spočítat, musíme si všechny její členy – v tomto případě tedy samotný vektor u, bod A a bod B – rozložit na jednotlivé souřadnice takto:

\begin{align*}
\boldsymbol{u} &= B -A \\
\hline \\
u_1 &= b_1 -a_1 \\
u_2 &= b_2 -a_2
\end{align*}

Ukážeme si to v následujících dvou příkladech:

Příklad 2

V rovině jsou dány body A, B. Určete vektor u = B – A.

a) A[1; 3], B[–1; 2]
b) A[3; 1], B[–1; 1]
c) A[1; 7], B[1; 7]

Řešení

\begin{align*} u_1 &= b_1 -a_1 = -1 -1 = -2 \\ u_2 &= b_2 -a_2 = 2 -3 = -1 \end{align*}

$$ \vec{u} = (-2; -1) $$

\begin{align*} u_1 &= b_1 -a_1 = -1 -3 = -4 \\ u_2 &= b_2 -a_2 = 1 -1 = 0 \end{align*}

$$ \vec{u} = (-4; 0) $$

\begin{align*} u_1 &= b_1 -a_1 = 1 -1 = 0 \\ u_2 &= b_2 -a_2 = 7 -7 = -0 \end{align*}

$$ \vec{u} = (0; 0) $$

Řešením tohoto příkladu je tzv. nulový vektor. Velikost nulových vektorů je nula.

Příklad 3

V prostoru jsou dány body A, B. Určete vektor u = B – A.

a) A[1; –1; 2], B[3; 1; 1]
b) A[1; 2; 3], B[3; 2; 1]

Řešení

\begin{align*} u_1 &= b_1 -a_1 = 3 -1 = 2 \\ u_2 &= b_2 -a_2 = 1 –(-1) = 2 \\ u_3 &= b_3 -a_3 = 1 -2 = -1 \end{align*}

$$ \vec{u} = (2; 2; -1) $$

\begin{align*} u_1 &= b_1 -a_1 = 3 -1 = 2 \\ u_2 &= b_2 -a_2 = 2 -2 = 0 \\ u_3 &= b_3 -a_3 = 1 -3 = -2 \end{align*}

$$ \vec{u} = (2; 0; -2) $$

Obráceně, jestliže je dán bod A a vektor u, nalezneme jediný bod B tak, že orientovaná úsečka AB je umístěním vektoru u. Souřadnice bodu B pak budou:

\begin{align*} b_1 &= a_1 + u_1 \\ b_2 &= a_2 + u_2 \end{align*}

V prostoru bychom doplnili ještě třetí souřadnici jako $ b_3 = a_3 + u_3 $.

Bod B můžeme tedy zapsat symbolicky ve tvaru B = A + u.

Příklad 4

V prostoru je dán bod A[1; 1; 5] a vektor u = (0; 1; -3). Určete souřadnice bodu B = A + u.

Řešení

\begin{align*} b_1 &= a_1 + u_1 = 1 + 0= 1 \\ b_2 &= a_2 + u_2 = 1 + 1 = 2 \\ b_3 &= a_3 + u_3 = 5 + (-3) = 2 \end{align*}

$$ B[1; 2; 2] $$

Souřadnice vektorů je extrémně důležité správně chápat, proto si určitě zkuste udělat následující příklad:

Příklad 5

Určete souřadnice všech vektorů na obrázku:

Řešení

Mohli bychom souřadnice každého z vektorů vypočítat jako rozdíl souřadnic jejich koncových a počátečních bodů, ale stačí se podívat, o kolik jednotek ve směru souřadnicových os je třeba se posunout, abychom se dostali ze začátku příslušné orientované úsečky na její konec. Obdržíme následující výsledky:

a = (4; –2), b = (3; 2), c = (5; 1), d = (5; 0), e = (–4; 2), f = (4; –4), g = (0; 2), h = (0; –4), i = (–2; –2), j = (–4; 0), k = (–2; 2), l = (–1; –1).

Závěr

V tomto článku jsme si vysvětlili, co je vektor a jak určujeme jeho souřadnice.

V následujícím článku se podíváme na sčítání vektorů.