V předchozím článku o číselných oborech jsme si vysvětlili a důkladně rozebrali, co to číselné obory jsou a jaké mají vlastnosti.
Toto téma považuji za jedno z nejzákladnějších z celé matematiky a myslím si, že pokud by se někdo potřeboval naučit nebo si třeba zopakovat celou středoškolskou matematiku od začátku, bylo by dobré začít právě tady. Je to dle mého názoru i dobrá odpověď na otázku „Jak začít s matematikou?“ Dalo by se totiž říci, že číselné obory jsou pro matematiku něčím, čím je Mendělejevova periodická tabulka prvků pro chemii.
Popsali jsme si čtyři nejpoužívanější číselné obory – přirozená čísla N, celá čísla Z, racionální čísla Q a reálná čísla R. (Komplexní čísla C sice také patří do středoškolské matematiky, ale jedná se již o rozsáhlejší oblast, která se obvykle probírá samostatně.)
V tomto článku téma číselných oborů dokončíme a doplníme o některé poznatky, se kterými se můžete setkat zvláště v textových zadáních různých matematických příkladů.
Čísla z hlediska znaménka
Kromě zmíněných číselných oborů můžeme čísla samozřejmě rozlišovat ještě podle jejich znaménka a dle nich tvořit z číselných oborů jejich podmnožiny.
Nebude to samozřejmě platit pro čísla přirozená, protože to jsou čísla kladná a celá, a tak už z definice žádné záporné číslo do tohoto oboru nepatří.
Každý ze zbývajících tří číselných oborů ale můžeme rozdělit podle jejich znaménka do těchto čtyř podmnožin:
- kladná čísla,
- záporná čísla,
- nekladná čísla,
- nezáporná čísla.
Co to jsou kladná a záporná čísla je vám nejspíš jasné. Kladná čísla jsou taková čísla, která jsou větší než číslo 0 a záporná taková, která jsou menší než číslo 0.
U nekladných a nezáporných čísel je to nepatrně (ale skutečně jen nepatrně) složitější.
Rozdíl mezi kladnými a nezápornými čísly, resp. rozdíl mezi zápornými a nekladnými čísly, spočívá pouze v čísle 0. Nula totiž nemá žádné znaménko – není ani kladná ani záporná. Ale můžeme o ní prohlásit, že je nezáporná a také nekladná.
V důsledku toho do nekladných čísel patří všechna čísla záporná, a navíc i číslo 0. A obdobně platí, že do nezáporných čísel patří všechna čísla kladná a rovněž navíc i číslo 0.
Nebo bychom to mohli říci i obráceně, a sice že mezi čísla záporná patří všechna čísla nekladná kromě čísla 0 a mezi čísla kladná patří všechna čísla nezáporná kromě čísla 0.
Například číslo 5 je číslo kladné a zároveň nezáporné. Číslo -5 je číslo záporné a zároveň nekladné. A číslo 0, jak už jsme si řekli, je nezáporné i nekladné.
Značení podmnožin číselných oborů
Pokud chceme takto vytvořenou podmnožinu označit, přidáme k písmenu daného číselného oboru do horního indexu znaménko plus nebo mínus a případně ještě do dolního indexu nulu.
Uveďme si několik příkladů, se kterými se v matematice můžeme setkat nejčastěji:
$ N_0 $ …označuje všechna přirozená čísla rozšířená o číslo 0.
$ R^{+} $ …označuje všechna kladná reálná čísla, např. 0,1; π; 5; 29,88
$ R^{-} $ …označuje všechna záporná reálná čísla, např. -0,1; -π; -5; -29,88
$ R_0^{+} $ …označuje všechna nezáporná reálná čísla, např. 0; 0,1; π; 5; 29,88, tedy všechna reálná kladná čísla a navíc nulu.
$ R_0^{-} $ …označuje všechna nekladná reálná čísla, např. 0; -0,1; -π; -5; -29,88, tedy všechna reálná záporná čísla a navíc nulu.
$ Z^{-} $ …označuje všechna záporná celá čísla, např. -1; -2; -3
$ Z_0^{-} $ …označuje všechna nekladná celá čísla, např. 0; -1; -2; -3, tedy všechna celá záporná čísla a navíc nulu.
Z oboru celých čísel nemá smysl dělat podmnožinu celých kladných čísel, kterou bychom označili Z+, protože taková podmnožina je zcela identická s oborem přirozených čísel, jenž můžeme označit jednoduše písmenem N.
Písmena se zdvojenými čarami
Možná jste si všimli, že někdy se místo běžných velkých písmen pro označování číselných oborů (N, Z, Q, R) používají písmena, která jsou napsána jakoby dvojitými čarami (jedná se o speciální řez písma nazývaný Blackboard bold) – viz následující obrázek:
$$ \mathbb{N}, \quad \mathbb{Z}, \quad \mathbb{Q}, \quad \mathbb{R} $$
Proč tomu tak je? V minulém článku jsme si řekli, že číselné obry jsou ve své podstatě množiny a množiny se v matematice obecně značí velkými písmeny.
Jenže nejrůznější množiny si můžeme definovat sami a můžeme je také označit kterýmkoli velkým písmenem. Proto pro zdůraznění skutečnosti, že se nejedná „jen tak o nějakou“ množinu, kterou někdo vytvořil v rámci daného příkladu či teoretického popisu, ale právě o tu množinu, která je číselným oborem, se někdy používá právě tento speciální řez písma. Zkrátka se jím naznačuje, že daný číselný obor je něčím víc, než „obyčejnou“ množinou.
Jinak mezi těmito dvěma značeními není z matematického hlediska vůbec žádný rozdíl – tedy když máme na mysli například obor reálných čísel a označíme ho písmenem R v řežu Blackboard bold jako na posledním obrázku, tak to není nějaký jiný obor reálných čísel, který by snad měl jiné vlastnosti.
Závěr
Teď již tedy víte, co to znamená, když v zadání příkladu nebo nějakém matematickém popisu narazíte například na text: „Spočítejte neznámou x ∈ Z“. Značí to, že máte příklad spočítat pouze v oboru celých čísel, a pokud vám celé číslo nevyjde, musíte napsat, že příklad nemá v tomto číselném oboru řešení.
Obdobně můžete mít zadání typu „řešte v $ R_0^{+} $“. To zase znamená, že výsledek musí být nezáporné reálné číslo, tedy kladné reálné číslo nebo nula. A pokud vám vyjde záporný výsledek, opět musíte napsat, že příklad nemá řešení.
Úplně nejčastěji se setkáte se zápisem x ∈ R, nebo „řešte v R“, protože obor reálných čísel je nejpoužívanějším číselným oborem vůbec. Když tedy tento zápis někde uvidíte, znamená to pouze, že proměnná x patří do oboru reálných čísel, nebo pokud máte vyřešit příklad, máte ho zkrátka řešit v oboru reálných čísel a ještě nechodit do „vyšších“ číselných oborů, jako jsou například čísla komplexní.
V následujícím článku se budeme zabývat druhou a třetí odmocninou reálných čísel.