V předchozím článku jsme se zabývali těmi případy, kdy lineární rovnice buď nemá žádné řešení, nebo má naopak nekonečně mnoho řešení.
V tomto článku si vysvětlíme, jak se řeší lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli určitého zlomku nebo ve jmenovatelích více zlomků.
Základní postup řešení rovnice je stejný, jak jsme si ho popsali v 1. části série o lineárních rovnicích. Stále tedy platí, že máme-li v rovnici zlomky, prvním krokem jejího obvyklého způsobu řešení je vynásobení obou stran rovnice nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů, které v rovnici máme. V případě rovnic s neznámou ve jmenovateli bude rozdíl spočívat v tom, že tímto nejmenším společným násobkem nebude číslo, ale výraz.
Ukážeme si to na několika příkladech.
Příklad 1
Řešte rovnici:
\[ \frac{x + 3}{x \; – \; 1} + \frac{x + 1}{x \; – \; 3} = 2 \]
Řešení
Ještě než se pustíme do násobení, musíme stanovit podmínky platnosti výrazů v rovnici, které vychází z toho, že jmenovatel žádného zlomku se nesmí rovnat nule, protože v takovém případě by došlo k pokusu o dělení nulou.
Jmenovatel prvního zlomku na levé straně rovnice $ x \; – \; 1 $ se bude rovnat nule tehdy, pokud za neznámou x dosadíme do tohoto výrazu číslo 1, protože $ 1 \; – \; 1 = 0 $. Jmenovatel druhého zlomku na levé straně rovnice se bude rovnat nule tehdy, pokud za neznámou x dosadíme do tohoto výrazu číslo 3, protože $ 3 \; – \; 3 = 0 $. Naše podmínky platnosti budou tedy vypadat takto:
$$ x \neq 1 $$
$$ x \neq 3 $$
Kdyby nám jako řešení rovnice vyšlo jedno z těchto čísel, museli bychom napsat, že rovnice nemá žádné řešení, protože takové řešení je v rozporu s některou podmínkou. Doporučuji dávat si na to pozor, protože například u maturitních testů se vás na to občas budou snažit nachytat.
Také si musíme dát pozor na situace, kdy nám vyjde, že rovnice má nekonečně mnoho řešení. V případě rovnic s neznámou ve jmenovateli to neznamená, že řešením je libovolné reálné číslo, ale libovolné reálné číslo kromě těch, které nám „zakazují“ podmínky (viz příklad 4).
Teď obě strany rovnice vynásobíme takovým výrazem, který je dělitelný každým z obou jmenovatelů, jež v rovnici máme, tedy výrazem $ x \; – \; 1 $ a současně výrazem $ x \; – \; 3 $. V tomto případě bude takovým výrazem součin obou těchto výrazů, tedy výraz $ (x \; – \; 1)(x \; – \; 3) $:
\[ \frac{x + 3}{x \; – \; 1} + \frac{x + 1}{x \; – \; 3} = 2 \qquad | \cdot (x \; – \; 1)(x \; – \; 3) \]
Při násobení rovnice výrazem postupujeme obdobně jako jsme postupovali při násobení rovnice číslem v příslušném článku. Výraz, kterým násobíme rovnici, vydělíme jmenovatelem daného zlomku a takto získaný mezivýsledek vynásobíme jeho čitatelem. Pokud daný člen není tvořen zlomkem, musíme tímto výrazem samozřejmě vynásobit i jej.
Výsledkem dělení výrazu $ (x \; – \; 1)(x \; – \; 3) $ jmenovatelem prvního zlomku na levé straně rovnice, tedy výrazem $ x \; – \; 1 $ je výraz $ x \; – \; 3 $. Můžeme si to představit tak, že místo znaménka „děleno“ použijeme „lomeno“:
$$ \frac{(x \; – \; 1)(x \; – \; 3)}{ x \; – \; 1} = x \; – \; 3 $$
přičemž výrazy $ x \; – \; 1 $ v čitateli a jmenovateli tohoto zlomku jsme vykrátili. Tento výsledek pak vynásobíme čitatelem prvního zlomku na levé straně rovnice tak, že oba výrazy napíšeme do závorek, které se mezi sebou násobí. Dostaneme tedy součin $ (x \; – \; 3)(x + 3) $.
Stejným způsobem zpracujeme druhý zlomek na levé straně rovnice. Výraz, kterým násobíme rovnici $ (x \; – \; 1)(x \; – \; 3) $ vydělíme jmenovatelem tohoto zlomku, tedy výrazem $ x \; – \; 3 $ a získáme mezivýsledek $ x \; – \; 1 $. Opět si to můžeme představit tak, že místo znaménka „děleno“ použijeme „lomeno“:
$$ \frac{(x \; – \; 1)(x \; – \; 3)}{ x \; – \; 3} = x \; – \; 1 $$
přičemž výsledný výraz jsme získali krácením zlomku výrazem $ x \; – \; 3 $. I tento mezivýsledek vynásobíme čitatelem stejného zlomku tak, že oba výrazy napíšeme do závorek, které se mezi sebou násobí, a dostaneme součin $ (x\; – \; 1)(x + 1) $.
Nakonec nesmíme zapomenout vynásobit výrazem, kterým násobíme rovnici, i číslo 2 na její pravé straně.
Tato celá úprava tedy bude vypadat následovně:
\begin{align*} \frac{x + 3}{x \; – \; 1} + \frac{x + 1}{x \; – \; 3} &= 2 \qquad | \cdot (x \; – \; 1)(x \; – \; 3) \\ (x \; – \; 3)(x + 3) + (x \; – \; 1)(x + 1) &= 2(x \; – \; 1)(x \; – \; 3) \end{align*}
Nyní roznásobíme závorky. Na levé straně můžeme místo roznásobení použít vzorec
$$ (A + B)(A \; – \; B) = A^2 \; – \; B^2 $$
\begin{align*} (x \; – \; 3)(x + 3) + (x \; – \; 1)(x + 1) &= 2(x \; – \; 1)(x \; – \; 3) \\ x^2 \; – \; 9 + x^2 \; – \; 1 &= 2(x^2 \; – \; 4x + 3) \\ x^2 \; – \; 9 + x^2 \; – \; 1 &= 2x^2 \; – \; 8x + 6 \end{align*}
Dále spolu na každé straně rovnice sečteme takové členy, které spolu sečíst jdou, to znamená x-ka na druhou s x-kami na druhou, samotná x-ka s x-kami a čísla:
\begin{align*} x^2 \; – \; 9 + x^2 \; – \; 1 &= 2x^2 \; – \; 8x + 6 \\ 2x^2 \; – \; 10 &= 2x^2 \; – \; 8x + 6 \end{align*}
Na levé straně rovnice máme $ 2x^2 $, na pravé straně rovnice máme také $ 2x^2 $, takže je můžeme z obou stran odečíst, čímž x-ka na druhou z rovnice zmizí (kdyby je nebylo možné odstranit, už by se nejednalo o lineární rovnici, ale o rovnici kvadratickou):
\begin{align*} 2x^2 \; – \; 10 &= 2x^2 \; – \; 8x + 6 \qquad |-2x^2 \\ -10 &= -8x + 6 \end{align*}
Rovnici dopočítáme obvyklým způsobem:
\begin{align*} -10 &= -8x + 6 \qquad |-6 \\ -10 \; – \; 6 &= -8x \\ -16 &= -8x \qquad | \cdot (-1) \\ 16 &= 8x \qquad |:8 \\ 2 &= x \\ x &= 2 \end{align*}
Protože číslo 2 není v rozporu s žádnou podmínkou, které jsme stanovili na začátku výpočtu, je toto číslo řešením naší rovnice. Můžeme tedy zapsat množinu kořenů rovnice K, která bude obsahovat toto jediné číslo:
$$ K = \{2\} $$
Příklad 2
Řešte rovnici:
\[ \frac{5}{2y \; – \; 3} \; – \; \frac{3y \; – \; 8}{4y \; – \; 6} = \frac{7}{9} \; – \; \frac{6y \; – \; 1}{10y \; – \; 15} \]
Řešení
Nejmenší společný násobek všech jmenovatelů, které v rovnici máme, zde nebude jejich prostý násobek. To by sice byl společný násobek, ale nikoli nejmenší. Vedlo by to k situaci, kdy bychom v rovnici několikrát roznásobovali tři závorky navzájem a měli bychom v ní značně velký počet členů. A takhle byste počítat určitě nechtěli. 🙂
Musíme proto najít nějaký úspornější způsob, jak tento nejmenší společný násobek stanovit. Tento úspornější způsob nalezení společného násobku, kterým budeme rovnici násobit, obvykle spočívá v úpravě jmenovatelů zlomků buď vytknutím nebo použitím vzorce. V tomto příkladu budeme potřebovat právě vytýkání.
Z výrazu ve jmenovateli druhého zlomku na levé straně rovnice vytkneme číslo 2 a z výrazu ve jmenovateli druhého zlomku na pravé straně rovnice vytkneme číslo 5:
\begin{align*} \frac{5}{2y \; – \; 3} \; – \; \frac{3y \; – \; 8}{4y \; – \; 6} &= \frac{7}{9} \; – \; \frac{6y \; – \; 1}{10y \; – \; 15} \\ \frac{5}{2y \; – \; 3} \; – \; \frac{3y \; – \; 8}{2(2y \; – \; 3)} &= \frac{7}{9} \; – \; \frac{6y \; – \; 1}{5(2y \; – \; 3)} \end{align*}
Po této úpravě vidíme, že ve třech jmenovatelích máme stejný výraz $ 2y \; – \; 3 $, který je na některých místech násobený nějakým číslem. To už je mnohem lepší. Náš hledaný nejmenší společný násobek teď bude tvořen tímto jediným výrazem vynásobeným nejmenším společným násobkem čísel 2, 5 a 9, která jsou rovněž obsažená ve jmenovatelích zlomků, což je číslo 90. Takže výsledný výraz, kterým budeme rovnici násobit, bude $ 90(2y \; – \; 3) $, protože je dělitelný všemi jmenovateli, které v rovnici máme.
Nesmíme ale zapomenout stanovit podmínky platnosti výrazů v rovnici. Pokud hodláme jmenovatele zlomků upravovat, je obvykle lepší stanovit tyto podmínky až po těchto úpravách, protože potom se to dělá snadněji. V našem případě teď bude stačit určit podmínku pouze z výrazu $ (2y \; – \; 3) $, protože když se tento výraz bude rovnat nule, vynásobí na nulu celý jmenovatel příslušného zlomku.
Buďto přijdeme zpaměti na to, jaké číslo bychom museli do tohoto výrazu dosadit za y, aby se rovnal nule, nebo si toto číslo můžeme spočítat pomocí jednoduché nerovnice:
\begin{align*} 2y \; – \; 3 &\neq 0 \qquad |+ 3 \\ 2y &\neq 3 \qquad |:2 \\ y &\neq \frac{3}{2} \end{align*}
Teď se tedy pustíme do vynásobení naší rovnice:
\begin{align*} \frac{5}{2y \; – \; 3} \; – \; \frac{3y \; – \; 8}{2(2y \; – \; 3)} &= \frac{7}{9} \; – \; \frac{6y \; – \; 1}{5(2y \; – \; 3)} \qquad | \cdot 90(2y \; – \; 3) \\ 450 \; – \; 45(3y \; – \; 8) &= 70(2y \; – \; 3) \; – \; 18(6y \; – \; 1) \end{align*}
Jak jsme provedli jednotlivé úpravy? Postup je samozřejmě stále stejný: výraz, kterým násobíme rovnice, vydělíme jmenovatelem daného zlomku a tento mezivýsledek vynásobíme čitatelem stejného zlomku. Opět si můžete představit, že místo operace „děleno“ jsme použili „lomeno“, přičemž zleva doprava jsme jednotlivé členy rovnice zpracovali takto:
- $ \frac{90(2y \; – \; 3)}{2y \; – \; 3} = 90 $; $90 \cdot 5 = 450 $,
- $ \frac{90(2y \; – \; 3)}{2(2y \; – \; 3)} = 45 $; $ 45 \cdot (3y \; – \; 8) = 45(3y \; – \; 8) $,
- $ \frac{90(2y \; – \; 3)}{9} = 10(2y \; – \; 3) $; $ 10(2y \; – \; 3) \cdot 7 = 70(2y \; – \; 3) $,
- $ \frac{90(2y \; – \; 3)}{5(2y \; – \; 3)} = 18 $; $ 18 \cdot (6y \; – \; 1) = 18(6y \; – \; 1) $.
Rovnici dopočítáme obvyklým způsobem:
\begin{align*} 450 \; – \; 45(3y \; – \; 8) &= 70(2y \; – \; 3) \; – \; 18(6y \; – \; 1) \\ 450 \; – \; 135y + 360 &= 140y \; – \; 210 \; – \; 108y + 18 \\ 810 \; – \; 135y &= 32y \; – \; 192 \qquad |+135y + 192 \\ 810 + 192 &= 32y + 135y \\ 1002 &= 167y \qquad |:167 \\ 6 &= y \\ y &= 6 \end{align*}
Číslo 6 není v rozporu s naší podmínkou $ y \neq \frac{3}{2} $ a proto je řešením (kořenem) rovnice. Můžeme zapsat:
$$ K = \{6\} $$
Příklad 3
Řešte rovnici:
\[ \frac{12}{1 \; – \; 9t^2} = \frac{1 \; – \; 3t}{1 + 3t} + \frac{1 + 3t}{3t \; – \; 1} \]
Řešení
Jmenovatel prvního zlomku na levé straně rovnice upravíme pomocí vzorce
$$ A^2 \; – \; B^2 = (A + B)(A \; – \; B) $$
Z výrazu $ 1 \; – \; 9t^2 $ nám tak vznikne výraz $ (1 + 3t)(1 \; – \; 3t) $. Cílem je dosáhnout ve jmenovatelích zlomků co nejmenšího počtu stejných výrazů, jejichž násobkem pak vynásobíme obě strany rovnice, abychom se těchto zlomků zbavili.
První závorka tohoto rozloženého výrazu je totožná se jmenovatelem prvního zlomku na pravé straně rovnice. Druhá závorka je podobná jmenovateli druhého zlomku na pravé straně rovnice, ale není stejná. Máme zde opačně znaménka: V rozloženém výrazu máme před číslem 1 „neviditelné“ znaménko plus a před členem $ 3t $ znaménko minus, zatímco v tomto jmenovateli máme před číslem 1 znaménko minus a před členem $ 3t $ „neviditelné“ znaménko plus. Proto si v tomto jmenovateli vytkneme před závorku znaménko minus, aby se nám znaménka uvnitř závorky překlopila na opačná.
Naše úpravy tedy budou vypadat takto:
\begin{align*} \frac{12}{1 \; – \; 9t^2} &= \frac{1 \; – \; 3t}{1 + 3t} + \frac{1 + 3t}{3t \; – \; 1} \\ \frac{12}{(1 + 3t)(1 \; – \; 3t)} &= \frac{1 \; – \; 3t}{1 + 3t} + \frac{1 + 3t}{-(-3t + 1)} \end{align*}
Znaménko minus, které nyní máme před jmenovatelem druhého zlomku na pravé straně rovnice, můžeme napsat před celý zlomek (kde je znaménko plus, které se tak změní na minus) a pořadí členů tvořící jmenovatel tohoto zlomku si pro lepší přehlednost prohodíme:
\begin{align*} \frac{12}{(1 + 3t)(1 \; – \; 3t)} &= \frac{1 \; – \; 3t}{1 + 3t} + \frac{1 + 3t}{-(-3t + 1)} \\ \frac{12}{(1 + 3t)(1 \; – \; 3t)} &= \frac{1 \; – \; 3t}{1 + 3t} \; – \; \frac{1 + 3t}{1 \; – \; 3t} \end{align*}
Dokonalé! Nyní jsou jmenovatelé všech zlomků tvořeny pouze dvěma výrazy: $ 1 + 3t $ a $ 1 \; – \; 3t $, jejichž součin tvoří jejich nejmenší společný násobek, kterým vynásobíme obě strany rovnice. Ještě předtím musíme ale stanovit podmínky platnosti výrazů v rovnici – jmenovatel žádného zlomku nesmí nabýt nulové hodnoty.
Kdybychom do jmenovatele prvního zlomku na levé straně rovnice dosadili za t číslo $ -\frac{1}{3} $, vynulovalo by to jeho první závorku, která by vynásobením s druhou závorkou vynulovala celý tento jmenovatel. Kdybychom do stejného jmenovatele dosadili za x číslo $ +\frac{1}{3} $, vynulovalo by to jeho druhou závorku, která by vynásobením s první závorkou opět vynulovala celý tento jmenovatel.
Stejná čísla by vynulovala i první nebo druhý jmenovatel zlomků na pravé straně rovnice. Proto můžeme souhrnně napsat:
$$ t \neq \pm\frac{1}{3} $$
Nyní provedeme vlastní vynásobení rovnice a zbavíme se zlomků:
\begin{align*} \frac{12}{(1 + 3t)(1 \; – \; 3t)} &= \frac{1 \; – \; 3t}{1 + 3t} \; – \; \frac{1 + 3t}{1 \; – \; 3t} \qquad | \cdot (1 + 3t)(1 \; – \; 3t) \\ 12 &= (1 \; – \; 3t)(1 \; – \; 3t) \; – \; (1 + 3t)(1 + 3t) \end{align*}
Na pravé straně rovnice se nám teď násobí závorka $ (1 \; – \; 3t) $ sama sebou, stejně jako závorka $ (1 + 3t) $, což je totéž, jako bychom tyto závorky umocňovali na druhou. Proto je můžeme rozložit podle vzorců pro druhou mocninu dvojčlenu:
\begin{align*} 12 &= (1 \; – \; 3t)(1 \; – \; 3t) \; – \; (1 + 3t)(1 + 3t) \\ 12 &= (1 \; – \; 3t)^2 – (1 + 3t)^2 \\ 12 &= 1 \; – \; 6t + 9t^2 \; – \; (1 + 6t + 9t^2) \end{align*}
Protože před závorkou v rovnici úplně vpravo bylo znaménko minus, napsali jsme si výsledek jejího umocnění do pomocné závorky, kterou nyní odstraníme tím, že u všech jejích členů otočíme znaménka na opačná, a rovnici dopočítáme obvyklým způsobem:
\begin{align*} 12 &= 1 \; – \; 6t + 9t^2 \; – \; (1 + 6t + 9t^2) \\ 12 &= 1 \; – \; 6t + 9t^2 \; – \; 1 \; – \; 6t \; – \; 9t^2 \\ 12 &= -12t \qquad |:(-12) \\ -1 &= t \\ t &= -1 \end{align*}
Výsledek -1 není v rozporu s žádnou podmínkou, které jsme si stanovili výše, a je proto platným řešením rovnice. Toto řešení můžeme opět zapsat jako množinu kořenů K:
$$ K = \{-1\} $$
Příklad 4
Řešte rovnici:
\[ \frac{2x \; – \; 3}{6 \; – \; 4x} = -\frac{1}{2} \]
Řešení
Jmenovatel prvního zlomku na levé straně rovnice můžeme upravit vytknutím čísla 2 před závorku:
\[ \frac{2x \; – \; 3}{2(3 \; – \; 2x)} = -\frac{1}{2} \]
Nejmenší společný násobek obou zlomků, kterým obě strany rovnice vynásobíme, bude výraz $ 2(3 \; – \; 2x) $, ale ještě předtím musíme stanovit podmínky platnosti. Kdyby se závorka ve jmenovateli prvního zlomku rovnala nule, vynulovala by násobením s číslem 2 celý tento jmenovatel. Proto se rovnat nule nesmí:
\begin{align*} 3 \; – \; 2x &\neq 0 \qquad |+2x \\ 3 &\neq 2x \qquad |:2 \\ \frac{3}{2} &\neq x \\ x &\neq \frac{3}{2} \end{align*}
Nyní obě strany rovnice vynásobíme a rovnici dopočítáme obvyklým způsobem:
\begin{align*} \frac{2x \; – \; 3}{2(3 \; – \; 2x)} &= -\frac{1}{2} \qquad | \cdot 2(3 \; – \; 2x) \\ 2x \; – \; 3 &= -(3 \; – \;2x) \\ 2x \; – \; 3 &= -3 + 2x \qquad | -2x + 3 \\ 2x \; – \; 2x &= -3 + 3 \\ 0 &= 0 \end{align*}
Neznámá x z rovnice zmizela a zbyla nám platná rovnost $ 0 = 0 $, takže rovnice má nekonečně mnoho řešení. Neznamená to ale, že by řešením bylo libovolné reálné číslo, protože jsme výše stanovili podmínku, že $x \neq \frac{3}{2} $. Řešením rovnice je tedy libovolné reálné číslo kromě čísla $ \frac{3}{2} $, což můžeme zapsat jako množinu kořenů takto:
$$ K = R \; – \; \bigg\{ \frac{3}{2} \bigg\} $$
Závěr
V tomto článku jsme si probrali rovnice s neznámou ve jmenovateli, kde se zbavujeme zlomků vynásobením rovnice nejmenším společným násobkem jejích jmenovatelů, který je na rozdíl od „obyčejných“ zlomků tvořen výrazem. Aby byl tento výraz co nejjednodušší, snažíme se nejdříve upravit jmenovatele zlomků tak, aby byly co nejvíc podobné. Také musíme stanovit podmínky platnosti výrazů v rovnici.
V příštím článku se budeme věnovat rovnicím v součinovém tvaru.