Vítejte u prvního dílu z minisérie Elementární teorie čísel, ve které se budeme věnovat vlastnostem přirozených čísel. Připomeňme, že přirozená čísla jsou celá kladná čísla (1, 2, 3, 4, 5 atd.)
Ze všeho nejdřív si definujeme dva základní pojmy, které je třeba v celé matematice rozlišovat, a sice číslo a číslice neboli cifra.
Asi všichni víme, co je to číslo. 🙂 Číslo je zkrátka nějakým způsobem vyjádřený počet nebo množství něčeho, anebo čistě abstraktní pojem, který se na reálné věci aplikuje později.
Číslice, nebo také cifry, jsou jednotlivé znaky, pomocí kterých se čísla zapisují.
Například 12 035 je číslo a 1, 2, 0, 3, 5 jsou číslice.
Rozvinutý zápis čísla
Rozvinutý zápis čísla 12 035 v desítkové soustavě vypadá takto:
$$ 1 \cdot 10^4 + 2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 5 $$
kde číslo 10 je základ desítkové soustavy, čísla 10 umocněná daným exponentem se nazývají jednotky řádu i (jednotky i-tého řádu) a číselné koeficienty (zleva) 1, 2, 0, 3, 5 jsou číslice (cifry) řádu i (číslice i-tého řádu).
Jednoduše řečeno, řádem se myslí (u našeho čísla 12 035 zleva) desetitisíce, tisíce, stovky, desítky a jednotky a rozvinutý zápis tohoto čísla nám říká, že číslo se skládá z jednoho desetitisíce, dvou tisíců, nula stovek, tří desítek a pěti jednotek.
Násobek a dělitel čísla
Pojmy násobek a dělitel pro přirozená čísla a, b jsou definovány takto:
Číslo a je násobkem čísla b (číslo b je dělitelem čísla a), právě když existuje přirozené číslo k takové, že a = kb.
Například číslo 21 je násobkem čísla 7, protože existuje přirozené číslo 3 tak, že platí $ 21 = 3 \cdot 7 $. A opačně platí, že číslo 7 je dělitelem čísla 21, protože opět existuje přirozené číslo 3 tak, že platí $ 21 = 3 \cdot 7$.
Jinými slovy, aby bylo nějaké číslo a násobkem čísla b (a současně číslo b dělitelem čísla a), musí jít číslo a celočíselně vydělit číslem b beze zbytku. Například číslo 38 není násobkem čísla 5 (a opačně platí, že číslo 5 není dělitelem čísla 38), protože když celočíselně vydělíme 38 : 5, dostaneme výsledek 7 a zůstane nám zbytek 3. Ale např. číslo 45 je násobkem čísla 5 (a opačně platí, že číslo 5 je dělitelem čísla 45), protože když celočíselně vydělíme 45 : 5, dostaneme výsledek 9 a nezůstane nám žádný zbytek.
Skutečnost, že číslo b je dělitelem čísla a vyjadřujeme slovy „a je dělitelné b“ nebo „b dělí a“, což matematicky zapisujeme takto:
$$ b \mid a $$
Například zápis:
$$ 5 \mid 45 $$
čteme jako „5 dělí 45“ nebo „5 je dělitelem 45“.
Negaci, tzn. fakt, že číslo b není dělitelem čísla a, matematicky zapisujeme takto:
$$ b \nmid a $$
Například:
$$ 5 \nmid 37 $$
Soudělná a nesoudělná čísla
Přirozená čísla nazýváme nesoudělná, je-li jejich společným dělitelem pouze číslo 1 (číslo je 1 je dělitelem každého přirozeného čísla). A přirozená čísla nazýváme soudělná, mají-li společného dělitele většího než 1.
Například čísla 15 a 28 jsou nesoudělná, protože nemají žádného společného dělitele kromě čísla 1. Čísla 24 a 36 jsou soudělná, protože mají společného dělitele většího než 1 – v tomto případě dokonce více takových společných dělitelů – jsou to čísla 2, 3, 4 a 6.
Závěr
V tomto článku jsme si vysvětlili rozvinutý zápis čísla a definovali jsme pojem násobek a dělitel.
V následujícím článku navážeme ještě jedním způsobem zápisu přirozených čísel, který se nazývá zbytkový tvar přirozeného čísla.