V minulém článku jsme si definovali pojem logaritmus a na příkladech si ukázali základní logiku, pomocí které se logaritmy počítají.
V tomto článku se podíváme na rafinovanější příklady, zvláště pak na logaritmy obsahující zlomky.
Začneme však něčím jednodušším – podívejme se na následující příklad:
$$ \log_5 5 = $$
Jaký bude výsledek? Když si položíme otázku: „Na kolikátou je třeba umocnit základ logaritmu 5, abychom dostali logaritmované číslo 5?“, odpověď je, že tento základ nepotřebujeme umocnit vůbec. Což je ale totéž, jako bychom ho umocnili na prvou. Takže:
$$ \log_5 5 = 1 $$
Toto bude platit pro jakýkoli logaritmus, jehož základ je stejný jako logaritmované číslo. Ukažme si pár příkladů:
$$ \log_2 2 = 1 $$
$$ \log_4 4 = 1 $$
$$ \log_{12} 12 = 1 $$
$$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1 $$
$$ \log_{2{,}5} 2{,}5 = 1 $$
Můžeme tedy říct, že rovná-li se základ logaritmu logaritmovanému číslu, výsledek takového logaritmu je vždy číslo 1.
Dále platí, že je-li logaritmované číslo 1, výsledek logaritmu bude vždy 0, bez ohledu na to, jaký má tento logaritmus základ. Například:
$$ \log_2 1 = 0 $$
$$ \log_5 1 = 0 $$
$$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} 1 = 0 $$
$$ \log_{0{,}1} 1 = 0 $$
Je tomu tak proto, že jakékoli číslo umocněné na 0 se vždy rovná 1. Proto, kdybychom si položili naši otázku, např. „Na kolikátou je třeba umocnit základ logaritmu 2 (nebo 5; $ \frac{1}{2} $; 0,1), abych dostal logaritmované číslo 1?“, odpověď by vždy byla „na nultou“.
Logaritmování zlomků
Zatím jsme logaritmovali převážně jen celá kladná čísla, ale logaritmy můžeme počítat i pro čísla desetinná, resp. pro zlomky. Ukažme si příklad:
$$ \log_2 \frac{1}{4} = $$
Když si položíme otázku: „Na kolikátou je třeba umocnit číslo 2, abychom jako výsledek dostali zlomek $ \frac{1}{4} $?“, odpověď nemusí být hned zřejmá.
Uvedeme napřed logiku získání výsledku, abychom viděli, jak to funguje a proč to tak je, a potom si řekneme jednu zkratku, jak to vyřešit rychle.
Z hlediska logického zdůvodnění si můžeme pomoci následujícím vzorcem pro umocňování čísel záporným exponentem:
$$ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $$
Tento vzorec říká, že nějaké číslo umocníme záporným celým exponentem tak, že ho napíšeme do zlomku, v jehož čitateli bude číslo 1, a ve jmenovateli bude naše číslo umocněné stejným exponentem s opačným znaménkem, tzn. číslem kladným. Například:
$$ 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} $$
Proto:
$$ \log_2 \frac{1}{4} = -2 $$
Nezapomínejte na to, že u logaritmů vždy platí, že když umocníme jeho základ na výsledek, dostaneme „zpětně“ to číslo, které logaritmujeme.
Další příklady:
$$ \log_2 \frac{1}{2} = -1 $$
protože $ 2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} $.
$$ \log_4 \frac{1}{16} = -2 $$
protože $ 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} $.
$$ \log_3 \frac{1}{27} = -3 $$
protože $ 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} $.
$$ \log_2 \frac{1}{16} = -4 $$
protože $ 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} $.
A nyní zmíněná zkratka:
Když je v čitateli zlomku číslo 1, můžeme tyto příklady řešit i následovně: Zamyslíme se nad tím, kolik by vyšel náš logaritmus, kdybychom místo zlomku logaritmovali pouze číslo v jeho jmenovateli, a výsledek zapíšeme s opačným znaménkem.
Například, když máme spočítat $ \log_4 \frac{1}{16} $, tak si představíme, že počítáme tento logaritmus pro číslo 16. Musíme tedy přijít na to, jakým exponentem je třeba umocnit základ logaritmu 4, abychom dostali 16. Odpověď je 2. My ale ve skutečnosti logaritmujeme číslo $ \frac{1}{16} $, a proto zapíšeme výsledek s opačným znaménkem, tedy místo 2 to bude -2.
Logaritmy se základem ve tvaru zlomku
Dalším druhem logaritmů jsou takové logaritmy, jejichž základ tvoří zlomek.
Opět si ukažme příklad:
$$ \log_{\frac{1}{3}} 9 = $$
Když si položíme otázku: „Na kolikátou je třeba umocnit základ $ \frac{1}{3} $, abychom dostali logaritmované číslo 9?“, odpověď opět nemusí být hned zřejmá.
Znovu si nejdřív uvedeme logiku, která za řešením vězí, a hned potom si řekneme zkratku, jak to spočítat rychle.
Z hlediska logiky si můžeme pomoci následujícím vzorcem pro umocňování zlomků zápornými exponenty:
$$ \bigg(\frac{a}{b}\bigg)^{-n} = \bigg(\frac{b}{a}\bigg)^n $$
Tento vzorec říká, že zlomek umocníme záporným exponentem tak, že ho převrátíme (prohodíme jeho čitatel a jmenovatel), načež ho umocníme stejným exponentem s opačným znaménkem, tzn. číslem kladným.
Například:
$$ \bigg(\frac{2}{3}\bigg)^{-2} = \bigg(\frac{3}{2}\bigg)^2 $$
a dále příklad dopočítáme klasickým způsobem, kterým se umocňují zlomky, tzn. umocníme naším exponentem 2 zvlášť čitatel a zvlášť jmenovatel:
$$ \bigg(\frac{3}{2}\bigg)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} $$
Nyní se ale vraťme k našemu logaritmu – napíšeme rovnou výsledek a potom ho zdůvodníme:
$$ \log_{\frac{1}{3}} 9 = -2 $$
Protože musí platit, že základ umocněný na výsledek nám dá logaritmované číslo, můžeme tento výsledek s pomocí vzorce pro umocňování zlomků záporným exponentem ověřit:
$$ \bigg(\frac{1}{3}\bigg)^{-2} = \bigg(\frac{3}{1}\bigg)^2 = \frac{3^2}{1^2} = \frac{9}{1} = 9 $$
A zde je zmíněná zkratka:
Pro vlastní výpočet můžeme použít stejný „trik“, který jsme uvedli v předchozí části článku – funguje totiž nejen pro logaritmování zlomků s čitatelem 1, ale i pro základy logaritmů ve tvaru zlomku, jejichž čitatel je 1. V tomto případě se tedy zamyslíme, kolik by vyšel náš logaritmus, kdyby jeho základ byl celé číslo rovnající se jmenovateli tohoto zlomku, a výsledek pak zapíšeme s opačným znaménkem.
Takže u našeho posledního příkladu:
$$ \log_{\frac{1}{3}} 9 = $$
se zamyslíme, jakým exponentem bychom museli umocnit základ logaritmu 3, abychom dostali 9. Odpověď je 2. Základ našeho logaritmu je ale ve skutečnosti $ \frac{1}{3} $, a proto zapíšeme výsledek s opačným znaménkem, tedy místo 2 to bude -2.
Další příklady:
$$ \log_{\frac{1}{8}} 2 = -3 $$
$$ \log_{\frac{1}{5}} 25 = -2 $$
$$ \log_{\frac{1}{7}} 7 = -1 $$
$$ \log_{\frac{1}{2}} 32 = -5 $$
Logaritmy se zlomky v základu i v argumentu
Poslední druh logaritmů, který si v tomto článku ukážeme, jsou logaritmy zlomků, jejichž základem je také zlomek. Ukažme si příklad:
$$ \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{16} = $$
V tomto případě si vystačíme s naší otázkou: „Na kolikátou je třeba umocnit základ logaritmu $ \frac{1}{4} $, abychom dostali číslo $ \frac{1}{16} $?“ Plus potřebujeme trochu umět pracovat s umocňováním zlomků, což jsme si v tomto článku již také ukázali.
Víme tedy, že zlomek umocníme nějakým exponentem tak, že umocníme tímto exponentem zvlášť jeho čitatel a zvlášť jeho jmenovatel. A protože:
$$ \bigg(\frac{1}{4}\bigg)^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16} $$
čili základ logaritmu $ \frac{1}{4} $ umocněný na exponent 2 nám dá logaritmované číslo $ \frac{1}{16} $, tak:
$$ \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{16} = 2 $$
Ukažme si pár dalších příkladů:
$$ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9} = 2 $$
$$ \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64} = 3 $$
$$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = 4 $$
$$ \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{25} = 2 $$
$$ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = 3 $$
I zde můžeme použít následující zkratku:
Je-li základem logaritmu zlomek s čitatelem 1 a logaritmované číslo je rovněž zlomek s čitatelem 1, pak výsledek logaritmu bude stejný, jako by základ logaritmu byl roven pouze jmenovateli tohoto zlomku a logaritmované číslo by bylo rovno také pouze jeho jmenovateli.
Podívejte se příklady výše ještě jednou a bude vám to zřejmé. Např. hned u toho prvního:
$$ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9} = 2 $$
vidíme, že výsledek je stejný, jako bychom logaritmovali číslo 9 a základ logaritmu by byl 3:
$$ \log_3 9 = 2 $$
Dosud jsme počítali logaritmy pouze s takovými zlomky, v jejichž čitateli bylo číslo 1, což je sice asi nejčastější případ, který se vyskytuje ve školních úlohách, ale nemusí tomu tak být vždycky. Ukažme si na závěr několik příkladů s jinými zlomky:
$$ \log_{\frac{2}{3}} \frac{4}{9} = 2 $$
protože $ \big(\frac{2}{3}\big)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} $.
$$ \log_{\frac{2}{3}} \frac{3}{2} = -1 $$
protože $ \big(\frac{2}{3}\big)^{-1} = \big(\frac{3}{2}\big)^1 = \frac{3}{2} $.
$$ \log_{\frac{2}{3}} \frac{9}{4} = -2 $$
protože: $ \big(\frac{2}{3}\big)^{-2} = \big(\frac{3}{2}\big)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} $.
$$ \log_{\frac{3}{2}} \frac{4}{9} = -2 $$
protože: $ \big(\frac{3}{2}\big)^{-2} = \big(\frac{2}{3}\big)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} $.
$$ \log_{\frac{3}{4}} \frac{27}{64} = 3 $$ protože $ \big(\frac{3}{4}\big)^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64} $.
Závěr
V tomto článku jsme se podrobně podívali na ty druhy logaritmů, kde se kromě přirozených čísel vyskytují i čísla, která nejsou přirozená – zvláště pak jsme se věnovali logaritmům obsahujícím zlomky.
Pokud jste si tyto úvodní články k logaritmům prostudovali v rámci funkcí, můžete dále pokračovat článkem o logaritmické funkci.