V tomto článku se podíváme na pojem logaritmus, což je jedno ze základních témat středoškolské matematiky. S logaritmy se můžete setkat v různých výrazech, v logaritmických a exponenciálních rovnicích a také ve funkcích. Zkrátka existuje více důvodů, proč je dobré logaritmy ovládat, a navíc jsou právě logaritmy určitým „kritickým bodem“, na kterém se nemálo studentů zasekne.
Pojďme si tedy uvést definici logaritmu a potom si na různých příkladech ukázat, co se logaritmy vlastně myslí a jak fungují.
Definice logaritmu
Logaritmus čísla x o základu a je takové číslo y, kterým je třeba umocnit základ logaritmu a, abychom získali logaritmované číslo x.
Tato definice pro někoho může být obtížně pochopitelná nebo nicneříkající. Pojďme si proto postupně vysvětlit, jak to s logaritmy je, a ukázat si je na různých příkladech.
Logaritmus se v matematice píše jako $ \log $. Každý logaritmus má svůj základ, který se zapisuje do dolního indexu k $ \log $, pokud je tento základ např. 2, pak příslušný logaritmus zapíšeme jako $ \log_2 $. Dále napíšeme číslo nebo proměnnou, jejíž logaritmus počítáme. Chceme-li spočítat např. logaritmus, jehož základ je 2, čísla 8, tak napíšeme:
$$ \log_2 8 $$
Tento zápis čteme jako „logaritmus o základu dva čísla osm“ nebo „logaritmus čísla osm o základu dva“.
Logaritmus spočítáme tak, že hledáme číslo, kterým je potřeba umocnit jeho základ, abychom obdrželi to číslo, jehož logaritmus hledáme.
Jinými slovy, chceme-li spočítat $ \log_2 8 $, tak se ptáme: „Na kolikátou je třeba umocnit základ logaritmu 2, abychom dostali číslo 8?“ Odpověď je na třetí, takže:
$$ \log_2 8 = 3 $$
Umocňování znamená vynásobit dané číslo sebou samým tolikrát, na kolikátou toto číslo umocňujeme, takže opačně musí platit: $ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $.
Dodejme ještě, že spočítat logaritmus se někdy označuje slovem „zlogaritmovat“.
A to je v podstatě celá věda. Pojďme si to trochu procvičit na více příkladech:
Budeme mít zadání:
$$ \log_3 9 = $$
Opět se ptáme: „Na kolikátou je třeba umocnit základ logaritmu 3, abychom dostali číslo 9?“ Odpověď je na druhou, takže:
$$ \log_3 9 = 2 $$
protože opačně platí, že $ 3^2 = 3 \cdot 3 = 9 $.
Další příklad:
$$ \log_2 32 = $$
Znovu se ptáme: „Na kolikátou je třeba umocnit základ logaritmu 2, abychom dostali číslo 32?“ Odpověď je na pátou, takže:
$$ \log_2 32 = 5 $$
a opět opačně musí platit, že $ 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 $.
Jak můžete vidět, výsledek logaritmu tedy nezávisí pouze na čísle, jehož logaritmus počítáme, ale také na základu tohoto logaritmu. Například:
$$ \log_4 64 = 3 $$
protože $ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 $, ale změníme-li základ tohoto logaritmu ze čtyřky na osmičku, přičemž zachováme číslo, které logaritmujeme, na hodnotě 64, dostaneme jiný výsledek:
$$ \log_8 64 = 2 $$
protože $ 8^2 = 8 \cdot 8 = 64 $.
Také z těchto příkladů můžete vidět, že když počítáme logaritmus nějakého čísla (označme ho jako x) o určitém základu (který se obvykle značí jako a) a dostaneme určitý výsledek (označme ho jako y), pak platí následující vztah:
$$ \log_a x = y \implies a^y = x $$
čili když máme výsledek nějakého logaritmu y, pak základ tohoto logaritmu a umocněný na tento výsledek y nám dá právě logaritmované číslo x. Proto se můžete setkat i s následující definicí logaritmu:
Logaritmus čísla x o základu a je takové číslo y, pro které platí $ a^y = x $.
Matematicky vyjádřeno:
$ \log_a x = y $, právě když $ a^y = x $.
Upřesnění definice logaritmu
Ať ale vezmeme kteroukoli definici, musíme ji ještě trochu upřesnit. Pro hodnoty základu a i logaritmované číslo x platí totiž určité podmínky:
Za prvé, základ logaritmu a musí být větší než 0 a nesmí se rovnat 1. Pro záporné hodnoty nebo nulovou hodnotu základu a by ve většině případů nešel logaritmus vůbec spočítat. Ale logaritmus by nešel spočítat ani pro základ a = 1. Představte si následující zadání:
$$ \log_1 4 = ??? $$
Když si totiž opět položíme otázku: „Na kolikátou je třeba umocnit základ logaritmu 1, abychom dostali číslo 4?“, tak na ni neexistuje odpověď, protože jedničku můžeme umocňovat do nekonečna a ona stále zůstane jedničkou. Např. $ 1^2 = 1 $, $ 1^3 = 1 $, $ 1^{10} = 1$, $ 1^{1000000} = 1 $ atd.
Za druhé, logaritmovat můžeme pouze kladná čísla, tedy rovněž větší než 0. Opět si představme, že bychom zkoušeli spočítat logaritmus třeba o základu 2, nějakého záporného čísla, např. -8:
$$ \log_2 -8 = ??? $$
Když budeme umocňovat číslo 2, nebo obecně jakékoli kladné číslo, na libovolný exponent (kladný, nulový nebo záporný), tak jako výsledek obdržíme vždy kladné číslo, tzn. že nikdy nedostaneme číslo -8.
Pro samotný výsledek logaritmu neplatí žádné omezení – ten může být kladný, záporný nebo nulový.
Když tedy vezmeme v úvahu tyto podmínky, získáme přesnější definici logaritmu:
Logaritmus kladného čísla x o základu a (a > 0; a ≠ 1) je takové číslo y, kterým je třeba umocnit základ logaritmu a, abychom získali logaritmované číslo x.
Speciální druhy logaritmů
Logaritmus o základu 10 se nazývá dekadický logaritmus. U dekadických logaritmů nemusíme tento základ psát, stačí když napíšeme pouze $ \log $. Např. $ \log 1000 = 3 $. Nebo opačně můžeme říct, že pokud základ logaritmu není uveden, jedná se automaticky o dekadický logaritmus se základem 10.
Logaritmus o základu e (Eulerovo číslo) se nazývá přirozený logaritmus. Značí se $ \ln $, takže vůbec zde nepoužíváme zkratku $ \log $. Například:
$$ \ln e^2 = 2 $$
Eulerovo číslo e je iracionální číslo s nekonečným počtem desetinných míst, jeho hodnota je zhruba 2,718. Má specifické vlastnosti a pro logaritmy zvláštní význam.
Závěr
V tomto článku jsme si vysvětlili, co jsou to logaritmy, a uvedli si jejich definici. Hlavně jsme si ale ukázali základní logiku, pomocí které se logaritmy počítají.
Zatím jsme však pracovali pouze s logaritmy, v jejichž základu i argumentu byla přirozená čísla. V příštím článku tuto oblast rozšíříme o logaritmy obsahující zlomky.