Kvadratická funkce

V předchozím článku jsme si probrali lineární funkci.

V tomto článku se podíváme na kvadratickou funkci. Kvadratické funkce úzce souvisí s kvadratickými rovnicemi, o kterých zde máme krátkou sérii článků. Některé věci tedy budou podobné.

Obecný předpis kvadratické funkce

Obecný předpis kvadratické funkce je následující:

$$ f(x): y = ax^2 + bx + c $$

kde čísla a, b, c jsou libovolná reálná čísla – konstanty nebo jim také říkáme koeficienty.

Vidíme, že na rozdíl od lineární funkce, jejíž obecný předpis byl:

$$ f(x) = ax + b $$

nám zde přibyl na začátku nový člen (ax²) a posunula se písmena – koeficient označený v lineární funkci písmenem a je v kvadratické funkci označený písmenem b, a koeficient označený v lineární funkci písmenem b je v kvadratické funkci označený písmenem c.

Takže u předpisu kvadratické funkce platí, že číslo a násobí x², číslo b násobí samotné x (bez exponentu) a číslo c nenásobí žádné x – je to zkrátka jen holé číslo. Člen ax² se nazývá kvadratický, člen bx lineární a člen c absolutní.

Dodejme ještě, že koeficient a se nesmí rovnat nule. Není to proto, že by došlo k nějaké „zakázané“ matematické operaci, ale kdyby bylo a = 0, tak by celý kvadratický člen vypadl a funkce by už nebyla kvadratická, ale pouze lineární.

Jednoduchá kvadratická funkce

Nejjednodušší kvadratická funkce vůbec má následující předpis:

$$ f(x): y = x^2 $$

To znamená, že její koeficienty jsou a = 1 (máme zde pouze ničím nenásobené x², což je stejné, jako bychom ho vynásobili jedničkou), b = 0 a c = 0 (protože zde zcela chybí lineární i absolutní člen).

Sestrojíme si graf této funkce.

Nejdříve si vytvoříme tabulku několika různých čísel x od -3 do 3 odstupňovaných po jedničce a ke každému x si vypočítáme příslušnou hodnotu y:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

Body dané dvojicemi čísel x a y, které jsou určeny jednotlivými sloupci tabulky, si vyneseme do souřadného systému a proložíme jimi křivku:

Vidíme, že grafem naší funkce je již skutečně křivka, nikoli přímka jako u lineární funkce. Tato křivka se nazývá parabola. A to platí obecně:

Grafem každé kvadratické funkce je parabola.

Vlastnosti jednoduché kvadratické funkce

Uveďme si vlastnosti naší funkce dané předpisem $$ f(x): y = x^2 $$

Definiční obor (nejen této, ale každé) kvadratické funkce tvoří množina všech reálných čísel, tj.:

$$ D(f) = R $$

Obor hodnot už je závislý na konkrétní podobě funkce. U této naší funkce ho tvoří množina všech nezáporných čísel, což můžeme zapsat pomocí intervalu takto:

$$ H(f) = \langle 0; +\infty) $$

Jako celek nemůžeme o funkci říct, že je klesající nebo rostoucí, ale můžeme čísla x rozdělit na dva intervaly, přičemž od minus nekonečna po nulu je naše funkce klesající a od nuly do plus nekonečna rostoucí čili funkce je klesající na intervalu $ (-\infty; 0 \rangle $ a rostoucí na intervalu $ \langle 0; +\infty) $.

Těmito intervaly se skutečně myslí čísla x, nikoli y. Vždycky když zkoumáme, na kterých intervalech je funkce klesající a na kterých rostoucí, díváme se na její graf ve směru osy x (zleva doprava).

Jinými slovy když řekneme, že funkce je klesající na intervalu $ (-\infty; 0 \rangle $, znamená to, že když budeme do jejího předpisu dosazovat hodnoty x z tohoto intervalu směrem od menších k větším, tak hodnoty y budou klesat. A obdobně když řekneme, že funkce je rostoucí na intervalu $ \langle 0; +\infty) $, znamená to, že když opět budeme do jejího předpisu dosazovat hodnoty x z tohoto intervalu směrem od menších k větším, tak hodnoty y budou růst. Zda, resp. na kterých úsecích, je funkce rostoucí nebo klesající, vždycky hodnotíme z hlediska osy x.

Parabola každé kvadratické funkce má dvě větve – levou a pravou, které jsou osově symetrické podle přímky rovnoběžné s osou y souřadného systému. Ta v našem případě s touto osou splývá, takže osou symetrie této naší jednoduché kvadratické funkce je samotná osa y.

Každá parabola svůj vrchol, což je bod, kde se obě její větve setkávají, a je to zároveň její nejnižší nebo nejvyšší bod. V tomto našem jednoduchém příkladu leží vrchol paraboly v počátku souřadného systému, tj. v bodě [0; 0].

Naše funkce je dále zdola omezená a je sudá (její graf je osově souměrný podle osy y).

Má minimum v bodě x = 0, v žádném bodě nemá maximum.

Složitější kvadratická funkce

Nyní si sestrojíme graf složitější kvadratické funkce. Takový, který bude obsahovat všechny tři členy – kvadratický, lineární a absolutní. Zvolme si její koeficienty takto:

a = 1
b = -6
c = 7

Po jejich dosazení od obecného předpisu dostaneme následující konkrétní kvadratickou funkci:

$$ f(x): y = x^2 \; – \; 6x + 7 $$

Grafem této funkce bude samozřejmě také parabola, ale její vrchol už nebude ležet v počátku souřadného systému.

Pokud bychom nyní chtěli nakreslit „pěkný“ graf této funkce, měli bychom si doprostřed tabulky dvojic hodnot x a y zvolit takové číslo x, kterým bude procházet osa symetrie paraboly. Osa symetrie bude samozřejmě stále procházet vrcholem paraboly. Ten však nyní už nebude ležet v počátku souřadného systému, ale bude posunutý směrem doleva nebo doprava a také směrem nahoru nebo dolů.

Máme dvě možnosti, jak můžeme zjistit, kde bude vrchol paraboly ležet.

1. Určení souřadnic vrcholu paraboly pomocí vzorců

x-ovou souřadnici x_v vrcholu paraboly kvadratické funkce vypočítáme pomocí následujícího vzorce:

$$ x_v = -\frac{b}{2a} $$

V našem případě tedy:

$$ x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 $$

A to nám vlastně stačí. Když si nyní uděláme tabulku hodnot x a y tak, že dáme číslo x_v = 3 doprostřed, a směrem doleva budeme čísla např. o jedničku zmenšovat, zatímco směrem doprava zvětšovat, vytvoříme graf funkce, kde bude krásně vidět jak její levá, tak pravá větev.

Vytvořme si tedy takovou tabulku a ke každé hodnotě x spočítejme pomocí jeho dosazení do předpisu funkce odpovídající hodnotu y:

x	0	1	2	3	4	5	6
y	7	2	-1	-2	-1	2	7

Opět zakreslíme body dané sloupci tabulky do souřadného systému a získáme graf:

Vidíme, že kdybychom naivně do tabulky dosadili čísla od -3 do 3 jako v předchozím případě, získali bychom graf zachycující pouze část levé větve paraboly, zatímco když si jako prostřední hodnotu tabulky zvolíme právě x-ovou souřadnici vrcholu x_v, získáme obě větvě (i když samozřejmě jen z části, protože naše parabola roste do nekonečna). Náš graf také obsahuje další důležité prvky, jako je vrchol paraboly a snadno bychom si mohli sestrojit i její osu jakožto rovnoběžku s osou y vedenou tímto vrcholem.

Zároveň z tabulky i grafu vidíme, že y-ová souřadnice vrcholu paraboly je -2. Kdybychom chtěli y-ovou souřadnici vrcholu paraboly spočítat ještě před sestrojením grafu, nejjednodušším způsobem, jak to udělat, je dosadit si jeho x-ovou souřadnici do předpisu funkce a spočítat si příslušnou hodnotu y.

V našem případě by to vypadalo takto:

$$ y_v = x^2 \; – \; 6x +7 = 3^2 \; – \; 6 \cdot 3 + 7 = 9 \; – \; 18 + 7 = -2 $$

2. Určení souřadnic vrcholu paraboly doplněním kvadratického trojčlenu na čtverec (vrcholový tvar kvadratické funkce)

Kvadratický trojčlen je právě náš předpis tvořící pravou stranu funkčního předpisu:

$$ ax^2 + bx + c $$

V našem případě tedy:

$$ x^2 \; – \; 6x + 7 $$

Pamatujete si na následující dva vzorce ze základní školy, které slouží pro rozklad závorky s dvojčlenem umocněné na druhou právě na kvadratický trojčlen?

$$ (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 $$

$$ (A \; – \; B)^2 = A^2 \; – \; 2AB + B^2 $$

Tak přesně ty budeme potřebovat, pouze je budeme používat v opačném směru, tzn. že z jejich pravé strany budeme dělat levou.

Postup je následující:

Vezmeme první dva členy našeho kvadratického trojčlenu, v našem případě tedy:

$$ x^2 \; – \; 6x $$

Nyní se zamyslíme, z jaké závorky umocněné na druhou bychom tyto členy dostali. V našem případě to bude závorka $ (x \; – \; 3)^2 $, protože:

$$ (x \; – \; 3)^2 = x^2 \; – \; 6x + 9 $$

Vidíme, že první a druhý člen našeho výsledku jsou stejné jako u našeho původního kvadratického trojčlenu! Poslední člen, číslo 9, je ale jiné, takže musíme náš výraz se závorkou ještě trochu upravit tak, aby oba výrazy byly ekvivalentní.

Postupujeme tak, že toto číslo za závorkou– v našem případě 9, úplně odečteme (abychom ho „vynulovali“) a hned nato přičteme to číslo, které máme na konci kvadratického trojčlenu v předpisu naší funkce. Nakonec obě tato čísla sečteme.

Tedy:

$$ x^2 \; – \; 6x + 7 = (x \; – \; 3)^2 -9 + 7 = (x \; – \; 3)^2 \; – \; 2 $$

Ještě jednou:

Závorka $$ (x \; – \; 3)^2 $$ rozložená podle vzorce by nám dala výsledek:

$$ (x \; – \; 3)^2 = x^2 \; – \; 6x + 9 $$

což je skoro stejné jako náš předpis funkce, ve kterém ale máme na konci místo čísla 9 číslo 7. Proto se této devítky zbavíme tím, že ji odečteme, tzn. napíšeme za naši závorku „ – 9 “ a následně přičteme sedmičku z konce předpisu naší funkce – připíšeme ještě „ + 7“. Čísla -9 a +7 dají dohromady číslo -2. A právě to bude na konci našeho výrazu, kterým teď můžeme nahradit původní předpis funkce, protože je ekvivalentní. Tento předpis bude nyní vypadat takto:

$$ f(x): y = (x \; – \; 3)^2 \; – \; 2 $$

Jde o úplně stejný předpis stejné funkce, pouze je teď napsaný trochu jinak. K čemu je to dobré?

Z tohoto tvaru můžeme totiž ihned poznat, kde bude ležet vrchol paraboly a tím pádem vlastně i to, kam se celá parabola vůči počátku souřadnic posune. Proto se tento tvar kvadratické funkce nazývá vrcholový.

Číslo za x uvnitř závorky odpovídá x-ové souřadnici vrcholu paraboly, pouze s opačným znaménkem. My máme před číslem 3 v závorce znaménko minus, proto bude x-ová souřadnice vrcholu +3. A číslo za závorkou zase odpovídá y-ové souřadnici vrcholu paraboly, tentokrát ale v souladu se znaménkem. My zde máme číslo -2, takže y-ová souřadnice vrcholu bude v našem případě také -2.

Ukažme si graf naší funkce ještě jednou:

Vidíme, že souřadnice vrcholu paraboly [x, y] jsou skutečně [3; -2], což je v souladu s pravidly ohledně vrcholového tvaru kvadratické funkce.

Uveďme si ještě vlastnosti této funkce:

Definiční obor:

$$ D(f) = R $$

Obor hodnot:

$$ H(f) = \langle -2; +\infty) $$

Funkce je zdola omezená (existuje nejmenší hodnota, v tomto případě -2, pod kterou žádná ze všech možných hodnot y neklesne).

Funkce je klesající na intervalu $ (-\infty; 3 \rangle $ a rostoucí na intervalu $ \langle 3; +\infty) $. (Nezapomeňte, že těmito intervaly se myslí hodnoty x.)

Funkce není ani sudá ani lichá.

Funkce má minimum v bodě x = 3. (Tímto bodem se rovněž myslí hodnota x taková, že po jejím dosazení do předpisu funkce získáme nejmenší možné číslo y.)

Koeficient a a podoba paraboly

Na závěr si ještě řekněme něco o vztahu koeficientu a a tím, jak bude vypadat parabola kvadratické funkce.

Čím bude koeficient a ve své absolutní hodnotě větší než 0, tím bude parabola „strmější“, a naopak, čím bude koeficient a bližší k nule, tím bude parabola „pozvolnější“, jakoby „rozvláčnější“.

Dále platí, že pokud bude koeficient a kladný (tj. bude a > 0), bude parabola nejdříve klesat a až poté růst – tak, jak jsme to viděli v příkladech výše, kde jsme měli hodnotu koeficientu a rovnu jedné. Takové parabole někdy říkáme konvexní.

A naopak, pokud bude koeficient a záporný (tj. bude a < 0), bude parabola nejdříve růst a až poté klesat, tzn. že oproti příkladům výše bude obrácená „vzhůru nohama“. Takové parabole někdy říkáme konkávní.

Nejlépe tyto vlastnosti objasní následující obrázek:

Závěr

V tomto článku jsme si probrali kvadratickou funkci. Ukázali jsme si, jak sestrojíme její graf, a uvedli jsme si její různé vlastnosti.

Také jsme se poprvé setkali s vrcholovým tvarem kvadratické funkce. U jiných funkcí existují podobné postupy, které se sice již nenazývají vrcholový tvar funkce, ale princip posunutí dané křivky je zcela analogický a běžně se používá pro jednodušší sestrojení grafu funkce.

V následujícím článku se budeme věnovat lineární lomené funkci – konkrétně nepřímé úměrnosti.