V předchozím článku jsme se věnovali tzv. zbytkovým tvarům přirozených čísel, což bylo zčásti dost teoretické téma.
V tomto článku se naučíme používat znaky dělitelnosti, což je naopak hodně praktická a užitečná dovednost.
Znaky dělitelnosti přirozených čísel nazýváme sadu pravidel, podle kterých můžeme poznat, jestli je možné určité přirozené číslo beze zbytku vydělit jiným přirozeným číslem. Nebo obráceně, je-li nějaké přirozené číslo dělitelem jiného přirozeného čísla.
Protože se v tomto článku budeme zabývat výhradně přirozenými čísly, připomeňme si, že přirozená čísla jsou celá kladná čísla, tzn. 1, 2, 3, 4, 5 atd. Pro více informací o tom, jaké druhy čísel vlastně v matematice máme, se můžete podívat na náš článek o číselných oborech.
Dělitelnost se značí znakem | , tedy svislého lomítka. Pokud napíšeme např.:
$$ 4 \mid 28 $$
znamená to, že číslo 4 je dělitelem čísla 28, tzn. že číslo 28 můžeme vydělit číslem 4 beze zbytku.
Znalost znaků dělitelnosti není samoúčelná, můžeme s její pomocí např. poznat, zda je možné určitý zlomek vykrátit nějakým konkrétním číslem. Dejme tomu, že máme zlomek:
$$ \frac{591}{15} $$
a přemýšlíme, zda bychom ho nemohli vykrátit třemi. Vidíme, že jmenovatel – číslo 15 – dělitelný třemi je, ale co čitatel? Pokud známe znaky dělitelnosti, velmi rychle můžeme poznat, zda je či není rovněž dělitelný třemi a je-li tedy krácení zlomku třemi možné.
Znaky dělitelnosti pro čísla 2 až 12
2
Přirozené číslo je dělitelné dvěma, pokud jeho zápis končí na některou z číslic 0, 2, 4, 6 nebo 8, tzn. když je sudé. Je-li nějaké číslo liché, nelze ho beze zbytku vydělit dvěma.
3
Přirozené číslo je dělitelné třemi, je-li jeho ciferný součet rovněž dělitelný třemi.
Zde je vhodné poznamenat, že v matematice se rozlišují pojmy číslo a cifra neboli číslice. Číslo je zkrátka nějaké číslo, např. 125 817, zatímco cifry nebo číslice jsou jednotlivé znaky, pomocí kterých se čísla zapisují. Zápis našeho čísla 125 817 se tedy skládá z číslic 1, 2, 5, 8, 1, 7.
Ciferný součet pak získáme sečtením těchto číslic, v našem případě tedy:
$$ 1+2+5+8+1+7=24 $$
A protože číslo 24 je dělitelné třemi, znamená to, že i číslo 125 817 je dělitelné třemi.
Kdyby ciferný součet vyšel např. 23, pak by naše číslo dělitelné třemi nebylo.
4
Přirozené číslo je dělitelné čtyřmi, pokud jeho poslední dvojčíslí (číslo vyjádřené jeho posledními dvěma ciframi), je dělitelné čtyřmi.
Například číslo 1 694 602 336 je dělitelné čtyřmi, protože jeho poslední dvojčíslí – číslo 36 – je dělitelné čtyřmi.
5
Přirozené číslo je dělitelné pěti, pokud jeho zápis končí na číslici 0 nebo 5.
Příkladem čísel dělitelných pěti můžou být čísla 45, 70, 115, 240, 346 075.
6
Přirozené číslo je dělitelné šesti, pokud je dělitelné dvěma a třemi zároveň.
To znamená, že musí být sudé (končit na číslici 0, 2, 4, 6 nebo 8) a zároveň jeho ciferný součet musí být dělitelný třemi.
Jako příklad si vezměme čísla 136, 129 a 168. Číslo 136 je sice sudé, ale jeho ciferný součet (10) není dělitelný třemi – proto toto číslo není dělitelné šesti. Číslo 129 zase má ciferný součet (12) dělitelný třemi, ale není sudé, takže také není dělitelné šesti. Konečně číslo 168 má ciferný součet (15) dělitelný třemi a zároveň je sudé, takže je dělitelné šesti.
7
Přirozené číslo je dělitelné sedmi, je-li dělitelný sedmi součet vypočtený tak, že se první až n-tá číslice odzadu vynásobí postupně čísly 1, 3, 2, 6, 4, 5 periodicky se opakujícími, tzn. že až vyčerpáme tyto čísla do konce, začneme je používat zase od začátku.
Jako příklad si vezměme číslo 1 292 011: budeme násobit jeho číslice odzadu výše uvedenými čísly a tyto násobky sčítat:
\begin{align*} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 6 + 9 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 1 \cdot 1= \\ = 1 + 3 + 0 + 12 + 36 + 10 + 1 = 63 \end{align*}
Protože takto vypočtené číslo 63 je dělitelné sedmi, znamená to, že dělitelné sedmi je i naše číslo 1 292 011.
Toto pravidlo je docela složité. Dle mého názoru mají znaky dělitelnosti sloužit k jednoduchému a rychlému určení, zda je nějaké přirozené číslo dělitelné jiným, a ne k tomu, aby se člověk učil nazpaměť další složitá pravidla. Je tedy otázka, zda má cenu se toto pravidlo týkající se sedmičky vůbec učit. Osobně mi přijde jednodušší si dané číslo sedmi rovnou vydělit, např. na papíře, a potom uvidím, zda mi vyjde nebo nevyjde zbytek 0.
8
Přirozené číslo je dělitelné osmi, pokud jeho poslední trojčíslí je dělitelné osmi.
To může být u některých čísel také poněkud složité. Např. u čísla 138 064 je na první pohled poznat, že jeho poslední trojčíslí 064 je dělitelné osmi, ale např. u čísla 138 632 to už tak zřejmé není.
Problém můžeme vyřešit takto: Podíváme se, zda číslice na místě stovek je sudá nebo lichá. Pokud je tato číslice sudá, pak je číslo dělitelné osmi, je-li jeho poslední dvojčíslí dělitelné osmi. Ve výše uvedeném čísle 138 632 je na místě stovek šestka, která je sudá, a jeho poslední dvojčíslí 32 je dělitelné osmi. Proto i číslo 138 632 je dělitelné osmi.
Pokud je na místě stovek lichá číslice, musíme k poslednímu dvojčíslí přičíst (nebo od něj odečíst) číslo 4 a opět rozhodnout podle toho, je-li takto zvětšené (nebo zmenšené) dvojčíslí dělitelné osmi. Například u čísla 231 528 je na místě stovek lichá číslice (5), takže po přičtení, resp. odečtení, čtyřky k jeho poslednímu dvojčíslí získáme číslo 32, resp. 24. Protože každé z těchto čísel je dělitelné osmi, je i číslo 231 528 dělitelné osmi.
9
Přirozené číslo je dělitelné devíti, pokud jeho ciferný součet je rovněž dělitelný devíti. Máme zde tedy obdobné pravidlo jako u dělitelnosti třemi. Pokud nevíte, co je a jak spočítat ciferný součet, podívejte se na příslušnou část článku výše.
10
Přirozené číslo je dělitelné deseti, pokud jeho zápis končí na číslici 0.
11
Přirozené číslo je dělitelné jedenácti, je-li rozdíl součtu číslic na sudém a lichém místě dělitelný jedenácti.
V praxi to provedeme takto: Spočítáme si něco obdobného jako je ciferný součet, ale místo toho, abychom mezi každé dvě číslice dali znaménko plus, budeme střídavě používat znaménka plus a minus tak, aby na místě jednotek bylo znaménko plus.
Vezměme si např. číslo 14 894. Provedeme náš výpočet s jednotlivými číslicemi takto:
$$ +1 \; – \; 4 + 8 \; – \; 9 + 4 = 0 $$
Jednoduše střídáme znaménka +/-, ale musíme si dát pozor, aby nám na poslední číslici (reprezentující jednotky) vyšlo znaménko +. Výsledek našeho výpočtu je 0, která je dělitelná jedenácti, stejně jako je dělitelná jakýmkoli jiným přirozeným číslem (výsledek dělení bude vždy také 0). To znamená, že číslo 14 894 je dělitelné jedenácti.
Jiný příklad: Máme číslo 412 148. Opět provedeme náš výpočet s jednotlivými číslicemi a střídáním znamének, ale tentokrát musíme začít znaménkem minus, aby nám na poslední číslici vyšlo plus:
$$ – \; 4 + 1 \; – \; 2 + 1 \; – \; 4 + 8 = 0 $$
Opět nám vyšla nula a naše číslo 412 148 je tedy dělitelné jedenácti. Ale stejně tak by tomu bylo, kdyby nám vyšlo např. 11, 22 nebo -11 apod.
12
Číslo je dělitelné dvanácti, je-li současně dělitelné třemi a čtyřmi. To znamená, že jeho ciferný součet musí být dělitelný třemi a současně jeho poslední dvojčíslí musí být dělitelné čtyřmi (viz výše).
Znaky dělitelnosti pro vybraná vyšší čísla
20, 25 a 50
Snad bychom si na závěr mohli uvést ještě znaky dělitelnosti pro čísla 20, 25 a 50, které jsou všechny obdobné: přirozené číslo je dělitelné dvaceti, dvaceti pěti a padesáti, právě když jeho poslední dvojčíslí je dělitelné dvaceti, dvaceti pěti a padesáti.
Existují i znaky dělitelnosti pro jiná čísla než ty, které jsme si zde uvedli, ale buď jsou zbytečně složité a jednodušší může být zkusit si dané číslo prostě vydělit, nebo nejsou příliš často potřebná. Chtěl jsem zde uvést ty vůbec nejdůležitější.
Závěr
V tomto článku jsme si uvedli nejpoužívanější znaky dělitelnosti, které budete potřebovat. Naučit se je používat není vůbec složité a v matematice se vám bude jejich znalost často hodit. Určitě jde o jedno ze základních témat – vstupních bodů – do matematiky jako takové.
V následujícím článku se budeme věnovat prvočíslům a číslům složeným.